Дослідження монотонності функції за допомогою похідної

Лекція №12

Означення 12.1. Будемо говорити, що:

1) функція строго зростає на множині , і позначати на , якщо ;

2) функція не спадає на множині (не строго зростає), і позначати на , якщо ;

3) функція строго спадає на множині , і позначати на , якщо на ;

4) функція не зростає на множині (не строго спадає), і позначати на , якщо на .

5) функція є монотонною на множині , якщо строго чи не строго зростає або спадає на множині .

Теорема 12.1. (Необхідні і достатні умови нестрогої монотонності функції, яка має похідну). Нехай функція визначена і має скінчену похідну на деякому інтервалі . Тоді функція не спадає на цьому інтервалі тоді і тільки тоді, коли в кожній точці інтервалу її похідна невід’ємна. Тобто,

Доведення. 1) Достатність. Нехай . Виберемо довільні числа з інтервалу так, щоб . Так як , то до функції можна застосувати теорему Лагранжа про приріст функції на відрізку . Отже, . Але . Тому . Тобто функція не спадає на інтервалі .

2) Необхідність. Нехай функція не спадає і має похідну на інтервалі . Доведемо, що тоді ця похідна невід’ємна. Нехай - довільна точка з . За умовою існування скінченої похідної в точці , випливає що існує і права похідна в цій точці і співпадає з основною похідною, тобто, . Так як не спадає на , то приріст , якщо . Тому , якщо . Звідки, згідно теореми про перехід до границі в нерівностях, маємо , що і треба було довести.

Теорема 12.2. (Необхідні і достатні умови строгої монотонності функції, яка має похідну). Нехай функція визначена і має скінчену похідну на деякому інтервалі . Тоді функція строго зростає на цьому інтервалі тоді і тільки тоді, коли в кожній точці інтервалу її похідна невід’ємна, і не знайдеться жодного такого інтервалу, який лежить в середині інтервалу , і в усіх точках якого похідна функції дорівнює нулю. Тобто,

Доведення. 1). Необхідність. Нехай функція має похідну і строго зростає на інтервалі, тоді вона і не спадає на ньому, тому, за попередньою теоремою похідна функції є невід’ємною на інтервалі. Тобто, Доведемо, що при цьому виконується умова б). Від супротивного. Нехай,

. Тоді, за наслідком з теореми Лагранжа про скінчений приріст, функція є постійною величиною на інтервалі , що суперечить умові строго зростання функції на . Отже, припущення не вірне, і має виконуватися умова б).

2). Достатність. Нехай функція має скінчену похідну в кожній точці інтервалу і виконуються умови а) і б). Покажемо, що . За умови а) і теореми 12.1 випливає, що функція не спадає, тобто, . Доведемо, що монотонність строга. Від супротивного. Припустимо, що функція зростає не строго на . Це означає, що знайдуться такі точки , що і при цьому . Але тоді, за нерівністю слідує, що функція є постійною величиною на інтервалі .Тому, ,

що суперечить виконанню умови б). Отже, припущення не вірне, і функція строго зростає на інтервалі . Теорему доведено.

Теорема 12.3. (Достатні умови монотонності функції, яка має похідну не в усіх точках відрізка). Якщо функція має додатну (або невід’ємну) похідну в усіх точках інтервалу крім однієї, в якій функція неперервна, то вона строго (не строго) зростає на всьому інтервалі. Тобто,

Доведення. Доведемо тільки випадок строгого зростання функції. Розглянемо три випадки можливого розташування точок .

а) Нехай . Застосувавши теорему Лагранжа про приріст функції на відрізку , побачимо, що приріст . Отже, , тобто, функція строго зростає на на проміжку .

б) Аналогічно доводиться, що функція строго зростає на проміжку .

в) Нехай .Тоді, згідно доведеному у попередніх пунктах а) і б), справедливі нерівності . Отже, функція строго зростає на всьому інтервалі , що і потрібно було довести.

Випадок нестрогого зростання функції доводиться майже дослівно.

Зауваження 12.1. Легко побачити, що теореми 12.1-12.3 виконуються і в тому випадку, якщо в них умову строгого чи нестрогого зростання функції замінити відповідно на умову строгого чи нестрогого спадання, а умову додатності чи від’ємності похідної функції , відповідно замінити на умову від’ємності чи недодатності.

Дата добавления: 2014-01-07