Формула Тейлора-Маклорена

Означення 11.2. Функція, що задана на множині R формулою

, називається центрованим многочленом n-го степеня з центром в точці .

Обчислимо коефіцієнти цього многочленна через значення його похідних в точці :

(11.2).

Поставимо задачу про найкраще наближення функції в околі точки многочленом n-го степеня. Нехай функція має в точці усі похідні до n-го порядку включно. Тоді будемо вважати, що наближення “досить близьке”, якщо значення функції і усіх її похідних в точці співпадають з відповідними значеннями многочленна , центрованим в точці . Тобто,

(11.3).

За формулами (13.3) і (13.2) випливає, що коефіцієнти шуканого центрованого многочленна мають бути такими:

Отже, відповідна формула найкращого наближення функції многочленом має такий вигляд: де , або

(11.4),

де є похибкою наближення функції многочленом , обчисленою у точці .

Означення 11.3. Многочлен називається многочленом Тейлора, а формула (11.4) – формулою Тейлора n-го порядку функції в околі точки . Доданок називається залишковим членом у формулі Тейлора. У випадку формулу Тейлора називають ще формулою Маклорена.

Дата добавления: 2014-01-07