Теорема 11.3.( Пеано про формулу Тейлора )

(11.5).

Завдання для самостійної роботи11.1: Привести словесне формулювання теореми.

Доведення теореми. Потрібно довести, що залишковий член у формулі Тейлора для функції в околі точки є нескінчено малою величиною вищого порядку відносно величини . Так як функції та їх похідні на до -го порядку включно задовольняють теоремі Лопіталя, то застосувавши її раз, отримаємо:

Так як існує похідна n-го порядку функцій і в точці , то існує і похідна функції в цій точці, яка дорівнює числу . Значить, до функції і до лінійної функції можна застосувати теорему 10.5 про границю відношення двох функцій в термінах відношення їх похідних, тому маємо:

,

що і потрібно було довести.

Теорема 11.4 (Про залишковий член у формі Лагранжа ). Нехай функція є диференційованою раз на інтервалі , і - деяка точка з цього інтервалу. Тоді на інтервалі справджується формула Тейлора -го порядку для функції з точкою центрування , причому залишковий член має вигляд , де - деяка зі інтервалу , що міститься між точками і . Тобто,

. (11.6).

Функцію у цьому випадку називають залишковим членом у формі Лагранжа.

Доведення. 1) Нехай . Тоді , отже, справджується рівність (11.6), тобто, .

2) Нехай . Розглянемо, наприклад, випадок, коли . Означимо функцію: . Можна помітити, що . Виберемо константу C так, щоб . Так як функція має похідну на , то для неї виконуються умови теореми Ролля на відрізку . Тому знайдеться така точка що . Тобто,

Отже,

Аналогічно доводиться твердження, коли . Теорему доведено.

Таблиця розвинень функцій у формулу Тейлора-Маклорена

Нехай функція має похідні до -го порядку включно в околі точки . Тоді в цьому околі справджується формула Маклорена . Отже, рахуючи похідні відповідних функцій в точці , маємо:

;

;

;

;

;

;

;

.

Дата добавления: 2014-01-07