Гармонические колебания и их парамеиры

Если u₁ (t) – гармоническое напряжение (рис. 2.1), то математическая модель его мгновенного значения имеет вид

u₁ (t) = U_m cos (ω t + φ₀₁) = U cos (ω t + φ₀₁) (2.1)

Параметры U_m и U = U_m / называют соответственно амплитудой и действующим значением гармонического колебания.

Величина ω = 2π· f [рад/с] называется угловой частотой, где f = 1 /T [ Гц ]– циклическая частота (просто частота), величина, обратная периоду колебаний T [с]. Эти параметры показаны на рис. 2.1.

Аргумент косинуса θ(t) = (ω t + φ₀₁) называется полной фазой (просто фаза) гармонического колебания.

Величина φ₀₁, равная значению фазы θ(0) при t = 0 называется начальной фазой. Она определяет значение гармонической функции при t = 0, т.е. в начале координат: u (0) = U_m ∙cos(φ₀₁).

Кроме того, по значению начальной фазы можно оценить положение максимального значения косинусоидальной гармонической функции на оси времени. Пусть t = t ₀₁ – время, при котором гармоническая функция принимает максимальное значение u (t ₀₁) = U _m. Это значит, что полная фаза в момент времени t ₀₁ равна нулю θ (t ₀₁ ) = (ω t ₀₁ + φ₀₁) = 2π n. Решая это уравнение, получим (см. рис.2.1) t ₀₁ = –φ₀₁/ω. (2.2)

Таким образом, положение максимума на оси времени определяется значением и знаком начальной фазы. Если φ₀₁ > 0, кривая косинуса смещена влево от начала координат (см. рис. 2.2), если φ₀₁ < 0, то – вправо.

По численному значению φ₀₁ можно оценить положение гармонической функции по оси времени. На рис. 2.2 изображены графики двух гармонических напряжений одинаковой частоты, которые смещены относительно начала координат в разные стороны. На основании формулы (2.2) можно записать выражения мгновенных значений этих напряжений (см. рис.2.2)

u₁ (t) = U_m cos (ω t + φ₀₁), u₂ (t) = U_m cos (ω t – φ₀₂).

Если увеличить значения начальных фаз двух напряжений, то первая кривая сместится влево, а вторая – вправо.

Большое значение в расчетах линейных цепей при гармоническом воздействии имеет сравнение двух гармонических функций по значению начальных фаз, т. е. по взаимному положению кривых на оси времени. Если за начала отсчета функции принять точку максимального значения, т. е. t ₀ (рис. 2.1), то та функция, которая на оси времени в сторону увеличения встречается первой, опережает по фазе вторую. На рис. 2.2 показан случай, когда u₁ (t) опережает u₂ (t).

Эту оценку принято делать по значению параметра – разность фаз Ψ

Ψ = φ₀₁ – φ₀₂ = (t ₀₁ – t ₀₂)/ ω (2.3)

Если Ψ > 0, топервая функция (слева) опережает вторую (справа) или вторая отстает от первой (см. рис. 2.2).

Если Ψ < 0, топервая функция отстает по фазе от второй.

Если Ψ = 0 – функции совпадают по фазе.

Если Ψ = ±π, то функции противофазны.

Если Ψ = ±π/2, то колебания находятся во временной квадратуре.

Дата добавления: 2014-01-07