Построение оптимального регулятора для СРП

Лекция 16

Способ основан на прямом использовании теории оптимального управления системами с сосредоточенными параметрами к системам с распределенными параметрами.

Возвращаясь к окончательному выражению конечно-элементной задачи запишем расчетную систему в дифференциальной форме

(1)

Такой вид характеризует исходную систему с распределенными параметрами, описываемую как систему с сосредоточенными параметрами, так как выражение (1) является обыкновенным дифференциальным уравнением. Перепишем (1) в более привычном для ССП виде:

(2)

Здесь приняты следующие обозначения:

Уравнение (44) дополняется начальными условиями

(3)

Дальнейшие действия направлены на применение теории оптимального управления для ССП для синтеза оптимальной замкнутой системы управления.

Применение теории оптимального управления к уравнению (2) формально позволяет решить задачу синтеза, но здесь необходимо рассмотрение таких вопросов как управляемость и наблюдаемость. Определение этих свойств системы нужно проводить с учетом некоторых особенностей конечно-элементной формулировки. Матрица обеспечивает связь внутренних источников тепла и тепловых потоков в окружающую среду с узлами, расположенными внутри и на поверхности объекта. Учитывая, что управление в системе индукционного нагрева является несимметричным, то есть мощность источников имеет только положительное значение, необходимо исключить из рассмотрения элементы матрицы , определяющие связь с потерями тепла. В результате получаем матрицу с небольшим числом строк, имеющих ненулевые значения, и нулевыми оставшимися строками. Ввиду того, что эти строки расположены сосредоточенно, проверка на управляемость дает отрицательный результат. Аналогичный результат получается и при проверке на восстанавливаемость и на наблюдаемость. Теоретически в этом случае имеется больше возможностей для придания системе свойств наблюдаемости, но это требует расположения устройств измерения в точках, которые физически недоступны. Расположение измерительных устройств вдоль одной или двух сопряженных поверхностей не решает поставленной задачи. Таким образом, очень часто рассматриваемая система не позволяет в полной мере воспользоваться теорией оптимального управления для синтеза управления. Но, вместе с тем, можно применить методы синтеза системы управления в усеченном виде.

Требуется обеспечить достижение заданного целевого состояния { T }_d c наименьшими затратами ресурса управления. Имеющееся в нашем случае ненулевое состояние { T }_d приводится к рассматриваемому простой заменой переменных . Качество управления определяется квадратичным критерием вида:

(4)

где матрицы динамики [ A(t) ], [ B(t) ] в общем случае зависят от времени, весовые матрицы [ S_f ], [ F( t ) ] симметричны и положительно полуопределены, а весовая матрица симметрична и положительно определена.

Для решения задачи составим гамильтониан и уравнение для сопряженных переменных:

(5)

(6)

Необходимое условие дает уравнение

(7)

Подставляя (49) в (44), (48), получим систему

(8)

Эта система определяет линейную двухточечно-граничную задачу, для решения которой применим так называемое преобразование Риккати

(9)

где [ S(t)] - симметричная положительно определенная (nu´nu) – матрица.

После дальнейших преобразований и подстановок получается так называемое уравнение Риккати

(10)

Граничное условие для получается непосредственно из сравнения (2) и (8). Оптимальный закон управления с обратной связью по состояниям, или просто оптимальный регулятор, задается выражением

(11)

где

(12)

Итак, выведены зависимости, определяющие пропорциональный регулятор с зависящим от времени матричным коэффициентом усиления [ K(t)]. Этот регулятор минимизирует критерий (4) на траекториях системы (2), (3), при этом: матричный коэффициент усиления [ K(t)] может быть определен однократно вне контура управления, так как он не зависит ни от { x(t)}, ни от [ u(t) ]; для определения [ K(t)] необходимо решить (9) в обратном времени.

Рассмотренный алгоритм поиска параметров регулятора отражает ряд особенностей объекта управления и системы управления. Объект, представляющий собой многомерную систему, позволяет независимо изменять значения вектора состояния. Система управления может обеспечить положительные и отрицательные значения вектора управления. Все это дает возможность переходить от начального к заданному состоянию с заданной скоростью. При этом значения вектора состояния возрастают с разной скоростью, что приводит к ситуации, когда часть значений уже вышла на заданный уровень, а остальные еще далеки от этого уровня. Этот факт отражается на том, что при формировании управления более весомым является вклад первой части вектора состояния. По мере возрастания значений вектора состояния происходит изменение соотношения между коэффициентами регулятора с целью более обоснованного учета всех значений. В конце процесса управления регулятор переходит в статический режим. Значения этого регулятора могут быть определены уже не из дифференциального уравнения (2), а из алгебраического

(12)

Возвращаясь к частному случаю системы индукционного нагрева, рассмотрим возможности использования полученных выводов из приведенных выше рассуждений. Главной особенностью системы индукционного нагрева является передача тепла от поверхностных слоев к внутренним, что уменьшает возможности системы управления. Управление, использующее только положительные воздействия, приводит к увеличению времени процесса. Но в этой ситуации есть положительный момент: температурное распределение в слое с внутренним источниками тепла изменяется на протяжении всего процесса синхронно и имеет небольшой градиент. Этот факт позволяет использовать настройки регулятора для стационарного режима и учитывать только значения вектора состояния для узлов, расположенных только в указанной зоне. Такая система обеспечит движение системы с заданными характеристиками и не допустит превышения максимально допустимых значений. Проблема достижения заданного уровня всего вектора состояния в свете сказанного выше должна решаться другим способом. Невозможность измерения и восстановления препятствует получению информации о векторе состояния, что не позволяет использовать даже при неоптимальном управлении значения всего вектора состояния. В зависимости от сложности объекта решение этой проблемы возможно разными путями. В наиболее простом случае требуется на основании анализа процесса моделирования системы нагрева совместно с системой управления определить время завершения процесса. Это время должно быть задано в системе управления так же, как и настройки регулятора. Для более сложного случая, когда возможны различные отклонения в ходе процесса, необходимо использование модели процесса, рассчитываемой в реальном времени. Этот способ, конечно, более трудоемкий.

Подводя итог рассмотренному методу синтеза регулятора, нужно отметить серьезную проблему, связанную с управляемостью системы. Исследование этого вопроса является важным при любом способе моделирования, но в данном случае ответ на него определяет целесообразность использования столь сложной процедуры.

Дата добавления: 2014-01-07