Дискретные системы

Лекция 7

В большинстве случаев наиболее естественным способом описания динамики процессов с сосредоточенными параметрами являются дифференциальные уравнения. Однако встречаются ситуации, когда более удобно пользоваться дискретными моделями динамики — разностными уравнениями. Так, дискретная модель для линейной системы может быть представлена в виде

(1)

Особенно полезны дискретные модели при непосредственном цифровом управлении, так как в этом случае измерения выхода y(k t) проводятся в дискретные моменты времени а управляющие воздействия являются кусочно-постоянными на каждом интервале (t, t+; k= 1, 2,...,) длительностью . Разностные уравнения могут быть получены из исходной системы

(3)

(4)

где А, В, С—постоянные матрицы, с использованием общей формулы для решения линейной системы с постоянными коэффициентами

(5)

В самом деле, определяя последовательно с помощью (5) х (k) при условии кусочно-постоянных управлений, будем иметь

(6)

После сопоставления (6) с (1) получаем выражение для коэффициентов разностных уравнений через коэффициенты соответствующих дифференциальных уравнений

(7)

(8)

Подставляя (7), (8) в (6), приведем решение для дискретного описания системы

(9)

что аналогично (5).

Другим способом получения дискретных уравнений из непрерывных является замена оператора дифференцирования оператором взятия конечной разности

(10)

откуда, полагая

(11)

(12)

снова получим уравнения (1).

Для того чтобы замена операции дифференцирования взятием конечной разности (10) была правомерна, необходимо, чтобы t было мало по сравнению с наименьшей из постоянных времени процесса, В противоположность этому дискретизация решения (5) и переход к выражениям (7), (8) справедливы при любых t.

Для дискретных систем разработана эффективная теория» включающая, в частности, представления во временной и частотной областях. Однако мы не будем останавливаться на деталях, поскольку результаты здесь полностью аналогичны уже рассмотренному случаю непрерывных систем.

Дата добавления: 2014-01-07