Функции распределения частиц. Функция Ферми-Дирака

Функцией распределения в статистической теории принято называть функцию, которая в условиях термодинамического равновесия при заданной температуре Т пропорциональна вероятности того, что некоторая частица занимает определенный энергетический уровень Е.

Вид функции распределения зависит от возможного количества частиц в данном разрешенном энергетическом состоянии и от того, являются ли данные частицы различимыми. Различимость – это свойство частиц изменять физические характеристики твердого тела при перестановке частиц местами.

В классической физике частицы считаются различимыми и могут неограниченно заполнять одно и то же энергетическое состояние. Распределение частиц газа по энергиям описывается с помощью функции распределения Максвелла - Больцмана:

; (2.32)

где μ – химический потенциал, выражающий изменение свободной энергии системы при изменении числа частиц в системе на одну при постоянной температуре и постоянном объеме системы: (фактически – работа выхода); С – постоянная, которая находится из условия, что сумма частиц на всех уровнях системы равна некоторому заданному и неизменному числу N. Название химический потенциал, а не какой–либо другой, подчеркивает лишь то обстоятельство, что рассматриваемые частицы способны двигаться по законам механики.

В отличие от классических представлений в квантовой механике микрочастицы являются неразличимыми. Микрочастицы подразделяются на 2 группы: бозоны и фермионы. Бозоны могут неограниченно заполнять одно и то же энергетическое состояние, причем тем легче, чем больше их в этом состоянии находится. Фермионы подчиняются запрету Паули. Это значит, что одно квантовое состояние может быть занято не более чем одним фермионом.

К бозонам относятся: фотоны, фононы, пионы, а к фермионам - электроны, протоны, нейтроны.

Бозоны подчиняются статистике Бозе-Эйнштейна

(2.33)

В условиях равновесия бозоны имеют минимум свободной энергии, поэтому химический потенциал бозонов равен нулю. Отсюда следует

(2.33А)

Распределение фермионов по энергетическим уровням описывается с помощью функции Ферми-Дирака:

(2.34)

где k – постоянная Больцмана, Т – температура, E_F – энергия Ферми или электрохимический потенциал, т.е. работа, которую необходимо затратить для изменения числа частиц на одну единицу. В случае, когда частицами, составляющими статистическую систему, являются электроны, которые помимо массы обладают еще и электрическим зарядом, изменение энергии возможно за счет изменения заряда. Электрохимический потенциал, который представляет собой алгебраическую сумму химического и электростатического потенциалов, то есть равен (E_F=μ-qj), где j - электростатический потенциал, и отражает это. Обычно его отождествляют с уровнем (энергией) Ферми. Можно показать, что в условиях термодинамического равновесия энергия Ферми оказывается постоянной в любой системе контактирующих тел. Поэтому необходимым условием равновесия системы можно считать постоянство уровня Ферми.

Характерно, что вид функции Ферми-Дирака не зависит от свойств системы, а зависит только от температуры. Конкретные свойства системы отражаются лишь на положении уровня Ферми. Графическое изображение функции распределения Ферми-Дирака представлено на рис. 2.4.

Основные свойства функции Ферми-Дирака.

1. , т.е. уровень Ферми занят с вероятностью 0,5 (всегда!).

То есть уровень Ферми есть энергетический уровень, вероятность заполнения которого при температуре, отличной от абсолютного нуля равна 0.5.

2. К. Тогда:для и для ,

т.е. при температуре К все разрешенные состояния ниже уровня Ферми заняты, а все выше него – полностью свободны. Это отличается от случая классических частиц, когда при К все электроны имеют .

Следовательно, энергия Ферми есть максимально возможная энергия электронов в металле при температуре абсолютного нуля.

3. Если энергия электронов значительно выше энергии Ферми, т.е. , тогда

. (2.35)

Формула (2.35) представляет собой классическое распределение Максвелла-Больцмана. Таким образом, функция Ферми-Дирака при больших энергиях переходит в распределение Максвелла-Больцмана.

4. Если энергия электрона ниже Е_F настолько, что , тогда:

, (2.36)

т.е. в области энергий, существенно меньших , разрешенные состояния заняты с вероятностью, близкой к 1.

5. В области функция изменяется очень быстро от значений, близких к 1, до нуля. Скорость изменения зависит от , и для температуры абсолютного нуля равна бесконечности (рис.2.4 в).

Функция распределения Ферми-Дирака (2.34) характеризует вероятность заполнения данного состояния электроном. Вероятность того, что в состоянии с энергией Е электрон отсутствует, т.е. оно занято дыркой, будет равна:

(2.37)

Следовательно, функция распределения для дырок аналогична функции распределения для электронов, если отсчитывать энергию дырок от уровня Ферми в противоположную сторону по сравнению с направлением отсчета энергии для электрона.

(а)	(б)
(в)
Рис. 2.4. Распределение Ферми-Дирака.

При Т >0 часть электронов за счет теплового движения смогут перейти в состояние с E > E_F. Число частиц, перешедших на более высокие уровни, равно количеству образовавшихся свободных состояний в области Е < E_F. Это означает, что заштрихованные на рис. 2.4 (б) площади равны. Кроме этого, нетрудно заметить, что величина F(E) заметно отличается от 1 или 0 лишь в пределах нескольких (~3)вблизи значения E=E_F (рис.2.4 в). Из рисунка видно, что функция Ферми-Дирака испытывает сильное изменение от 0,953 до 0,047 при изменении в интервале от –2 kT до +2 kT. В дополнение хорошо видно, что интервал энергии, определяющий резкое изменение F(E,Т), зависит от температуры: при Т ® 0 он стремится к нулю.

Полупроводники, у которых распределение свободных носителей заряда по энергетическим состояниям описывается функцией Ферми-Дирака, называются вырожденными. Вырожденными являются такие полупроводники, у которых уровень Ферми расположен вблизи края запрещенной зоны (как правило, на расстоянии менее нескольких kT).

Для электронов, находящихся в состояниях с энергией E-E_F >>, выражение для F(E) принимает вид:

, (2.38)

то есть совпадает с функцией распределения Максвелла-Больцмана для частиц, подчиняющихся классическим законам.

Если распределение носителей заряда по энергиям в полупроводнике подчиняются статистике Больцмана, то полупроводник называют невырожденными.

Невырожденными являются такие полупроводники, у которых уровень Ферми расположен внутри запрещенной зоны на расстоянии более нескольких kT от границы с разрешенной зоной.

2.3. Степень заполнения примесных уровней

Рассмотрим полупроводник, содержащий донорную примесь в концентрации N_d. Донор, удерживающий электрон, электрически нейтрален. Это соответствует, например, случаю, когда один из узлов кристаллической решетки кремния занят атомом мышьяка. При этом пятый валентный электрон атома донорной примеси не принимает участия в ковалентной связи и ему соответствует энер­гетический уровень, расположенный ниже дна зоны проводимости на величину Е_d (рис. 2.5 а).

Поскольку у донорной примеси имеется только один электрон, который может принимать участие в проводимости, то полное число состояний для донорной примеси должно быть равно количеству атомов введенной примеси на единицу объема кристалла, т. е. равно N_d.

Рис. 2.5. Электронный (а) и акцепторный (б) полупроводники.

Предположим, что концентрация электронов, находящихся на уровне донорной примеси, равна п_d. В этом случае концентрация ионизованных донорных атомов р_d, образовавшихся в результате тепловых переходов электронов с донорных уровней в зону прово­димости и имеющих положительный заряд, составит

р_d = N_d - п_d (2.39)

Если бы на примесном донорном уровне согласно принципу Паули могли расположиться два электрона с антипараллельными спинами, то вероятность его заполнения определялась бы функцией Ферми—Дирака (2.34), в которой вместо Е следовало поставить Е_d - энергию электрона на уровне примеси. Но на уровне Е_d может быть только один электрон, который может быть захвачен в зону проводимости двояким образом в зависимости от направления спина. Следовательно, нейтральное состояние донорной примеси имеет вдвое больший статистический вес по сравнению с ионизованным состоянием. Так как при отсутствии электрона на уровне донорной примеси вероят­ность такого состояния равна 1, то, исходя из принципа Больцмана, можно написать:

(2.40)

Используя (2.39), это равенство можно записать в виде

(2.41)

откуда следует,что концентрация электронов, находящихсянауровнях донорной примеси, равна:

, (2.42)

Где g – фактор спинового вырождения (физический смысл – число квантовых состояний с одной и той же энергией).

а концентрация положительных ионов донорной примеси на осно­вании равенств (2.40) и (2.42) будет выражаться соотношением вида:

(2.43)

Тогда вероятность нахождения электрона на донорном уровне с энергией Е_d будет определяться выражением:

, (2.44)

а функция распределения для положительных ионов донорной примеси на основании и (2.43) будет:

(2.45)

Таким образом, для одновалентной донорной примеси, для которой примесный уровень двукратно вырожден, фактор (сте­пень) спинового вырождения g = 2.

Рассмотрим теперь акцепторный полупроводник, например кремний, легированный бором. Допустим, что концентрация введенной примеси равна N_a. Энергетическая схема такого полупроводника Представлена на рис. 2.5 б.

Нейтральный атом бора с соседними атомами кремния образует три ковалентные связи, четвертая связь одного из четырех соседних атомов кремния остается незавершенной, и она, располагаясь около атома бора, ведет себя как положительная дырка. В эту незавершен­ную связь может перейти электрон от соседнего атома кремния, и для этого потребуется энергия, равная Е_а. В результате образуется свободная дырка, а атом бора превращается в отрицательно заря­женный ион бора. Таким образом, на энергетическом уровне акцеп­торной примеси находится один электрон с произвольным направ­лением спина (нейтральное состояние акцепторной примеси) либо имеется два электрона с антипараллельными спинами в случае, когда атом акцепторной примеси для укомплектования парной связи захватывает электрон из валентной зоны (ионизованное состояние акцепторной примеси). Следовательно, степень вырождения акцеп­торного уровня g = 2. Поэтому концентрация электронов n_a на уровнях акцепторной примеси (или концентрация отрицательных ионов) при данной температуре будет определяться соотношением вида

(2.46)

а концентрация дырок на акцепторной примеси р_а соответственно будет равна:

(2.46а)

Дата добавления: 2014-01-07