Свойства мажорируемых рядов

(без доказательства)

Теорема 1: Если ряд из непрерывных функций мажорируем в области D, то его сумма есть функция непрерывная в этой области.

Теорема 2: Если ряд из непрерывных функций мажорируем, то этот ряд можно почленно интегрировать.

Пусть ряд сходится и имеет некоторую сумму в области D:

, тогда: , где .

Теорема 3: Если ряд (1), составленный из функций, имеющих непрерывные производные, сходится в области D и его сумма равна , а ряд, составленный из производных сходится в D в правильно, то производная суммы ряда равна сумме ряда из производных, т.е. .

(Или: Если ряд, составленный из производных сходящегося ряда, мажорируем, то последний можно почленно дифференцировать).

Пример 4. Рассмотрим ряд:

. Данный ряд мажорируемый и его сумма есть непрерывная функция, но ряд, составленный из производных:

расходится, т.к. .

Рассмотрим важнейший класс мажорируемых рядов, которые называются степенными рядами.

Дата добавления: 2014-01-07