Взаимное расположение двух плоскостей. Пусть две плоскости даны своими общими уравнениями:

Пусть две плоскости даны своими общими уравнениями:

Исследуем взаимное расположение плоскостей .

1 случай. Плоскости параллельны, но не совпадают. В этом случае векторы должны быть коллинеарны, но плоскости должны быть различны.

2 случай. Плоскости совпадают. Векторы коллинеарны.

3 случай. Плоскости пересекаются (по прямой). В этом случае векторы должны быть неколлинеарны.

неверная пропорция.

Очевидно, что в случае 3 угол между плоскостями равен углу между нормалями:

Рассмотрим следующую задачу.

Пусть две плоскости даны своими общими уравнениями:

Необходимо выписать уравнения плоскостей, делящих пополам двугранные углы, образованные при пересечении плоскостей . Обозначим искомые плоскости как

Обозначим через текущую точку пространства. Точка принадлежит одной из плоскостей тогда и только тогда, когда эта точка равноудалена от плоскостей :

Выбираем в последнем соотношении знаки «+» или «-» в обозначении «», получим уравнения плоскостей

Рассмотрим три плоскости , заданные своими общими уравнениями:.

Обсудим взаимное расположение плоскостей

Очевидно, возможны следующие случаи:

1) Плоскости параллельны (но не совпадают). В этом случае векторы нормалей должны быть коллинеарны:

2) Плоскости пересекаются по трем параллельным прямым. В этом случае векторы нормалей должны быть компланарны, но система уравнений, состоящая из общих уравнений плоскостей, должна быть несовместна:

,

3) Две плоскости параллельны между собой, но пересекаются с третьей плоскостью:

Выпишите условия самостоятельно.

4) Три плоскости пересекаются вдоль прямой. В этом случае система, составленная из общих уравнений плоскостей, должна быть совместна, ранг матрицы системы должен быть равен 2. Отсюда получаем:

.

5) Плоскости пересекаются в одной точке. В этом случае система, составленная из общих уравнений плоскостей, должна обладать единственным решением:

Дата добавления: 2014-01-07