Взаимное расположение двух прямых в пространстве

Пусть две прямые заданы каноническими уравнениями:

Две прямые в пространстве могут:

1. Пересекаться (но не совпадать):

2. Быть параллельными (но не совпадать):

3. Совпадать:

4. Скрещиваться.

Рассмотрим каждый из четырех случаев.

1.

Здесь , точки, принадлежащие прямым соответственно; направляющие векторы этих прямых.

2.

			Прямые параллельны, но не совпадают.
			Прямые совпадают.

3.

4.

		Прямые скрещиваются.

Две прямые скрещиваются тогда и только тогда, когда существуют две параллельные плоскости такие, что (см. рисунок).

Из рисунка следует, что прямые скрещиваются тогда и только тогда, когда векторы некомпланарны. Следовательно, необходимым и достаточным условием того, что прямые скрещиваются, является условие

Рассмотрим некоторые задачи, связанные со взаимным расположением двух прямых в пространстве.

Задача 1. Найти расстояние между параллельными прямыми .

Пусть

Имеем: направляющий

вектор прямых. Ищем как высоту параллелограмма, построенного на векторах

Ищем как высоту параллелограмма, построенного на векторах (см. рисунок)

Задача 2. Найти расстояние от точки до прямой L, если

Здесь направляющий вектор прямой, :

Задача 3. Найти угол между прямыми и , если

Ищем как угол между векторами

Задача 4. Найти расстояние между скрещивающимися прямыми и , если

Ищем расстояние как высоту параллелепипеда, построенного на векторах (см. рисунок):

Дата добавления: 2014-01-07