ЛЕКЦИЯ 2. Электрическая величина в цепи, содержащей реактивные элементы может быть описана обыкновенным линейным дифференциальным уравнением n–ого порядка с постоянными

ОПЕРАТОРНЫЙ МЕТОД РАСЧЁТА ПЕРЕХОДНЫХ ПРОЦЕССОВ.

Электрическая величина в цепи, содержащей реактивные элементы может быть описана обыкновенным линейным дифференциальным уравнением n–ого порядка с постоянными коэффициентами вида

(2.1)

Для его однозначного разрешения должны быть определены n начальных условий (НУ) (2.2):

(2.2)

Кроме классического метода решения этого уравнения существует операторный метод. Суть операторного метода заключается в применении к уравнению (2.1) преобразования Лапласа:

, где . (2.3)

Принято говорить так, что над оригиналом x(t) - функцией действительного переменного t произведена операция отображения в область комплексного переменного p. X(p)-изображение функции x(t). С целью более простой записи, в место выражения (2.3), используют специальные символы: или . Так, например, если применить формулу (2.3) к уравнению (2.1), то получим алгебраическое уравнение в области изображений

(2.4)

Выражая из (2.4) изображение искомой величины мы получим дробно-рациональную функцию равную отношению полиномов

(2.5)

Решение уравнения (2.1) находится путём вычисления обратного преобразования Лапласа над отношением полиномов (2.5) по формуле

(2.6)

Обычно в электротехнике формула (2.5) представляет собой сложное дробно-рациональное выражение и вычисление оригинала по формуле обратного преобразования (2.6) делать нецелесообразно. Для перехода к оригиналу пользуются таблицами, где сведены результаты преобразований для более простых дробей, на которые выражение (2.5) может быть разложено по методу неопределённых коэффициентов или с помощью формулы разложения

(2.7)

Пусть, для примера, корнями характеристического полинома F₂(p) явились числа вида

,

тогда изображение будет разложено на сумму простейших дробей

Для этих дробей в таблицах находим такую связь оригиналов с изображением

Употребим формулу разложения для нахождения коэффициентов. В зависимости от вида корней (различные, комплексо-сопряженные, кратные) формула разложения (2.7) приобретает различный вид.

Случай различных корней:

(2.8)

Случай комплексо-сопряжённых корней:

Пусть , тогда по формуле (2.8) находим коэффициенты и сразу перейдём к оригиналу.

(2.9)

Случай кратных корней:

Представим F₂(p) к виду , - кратность k – го корня полинома F₂(p). Тогда коэффициенты будут найдены по формуле

. (2.10)

Теперь мы можем, имея диф. уравнение и начальные условия, отобразить его в операторную область. В операторной области диф. уравнение представляет собой алгебраическое выражение, из которого изображение искомой величины может быть найдено в виде дробно-рациональной функции. Далее следует переход от изображения к оригиналу с помощью формулы разложения.

До сих пор речь шла, в большей мере, о математическом аспекте расчёта, а теперь обратимся к его приложению для расчёта ПП в электрических цепях. Основное отличие операторного метода расчета от классического заключается в отсутствии необходимости находить зависимые начальные условия. Этот метод более формализован и содержит меньшее число этапов. При расчете переходных процессов операторным методом не составляют дифференциального уравнения и не отображают его в область изображений. Вместо этого составляют операторную схему замещения цепи после коммутации, расчет которой для получения изображения искомой величины делают любым из известных методов анализа цепей. Операторные схемы замещения элементов цепей получают на основе свойств преобразования Лапласа.

Свойства преобразования Лапласа:

1. Линейность:

.

2. Теорема интегрирования:

3. Теорема дифференцирования:

4. Теорема запаздывания:

Дата добавления: 2014-01-07