Формула Бернулли. Пусть производится n независимых друг от друга испытаний, в каждом из которых случайное событие А может либо произойти

Пусть производится n независимых друг от друга испытаний, в каждом из которых случайное событие А может либо произойти, либо не произойти. Результат каждого испытания — случайное событие, вероятность которого естественно счи­тать независящей от результатов других бросаний. Вероятность того, что событие А состоится в каждом испытании одна и та же и равна p. Следовательно, вероятность того, что событие А не произойдет, равна 1– р. Обозначим эту величину через q =1– р. Зададимся вопросом, какова будет вероятность того, что при n испытаниях событие А наступит в k из них и, соответственно, в n-k испытаниях не наступит?

Для подсчета вероятности пронумеруем испытания. Для начала найдем вероятность наступления события А в испытаниях с определенными k номерами, и ненаступления в остальных n-k испытаниях. Так как испытания независимы, то по теореме умножения вероятностей получим вероятность такого сложного события равной . Наше искомое событие, состоящее в наступлении А в любых k испытаниях из общего числа n испытаний, разбивается на вышеупомянутые сложные несовместные события, количество которых . Например, если n =4, а k =2, то такие события: AA , А А , А А, A А, АА, АА . В этих записях А обозначает наступление события, а - ненаступление. Так AA означает, что интересующее нас событие наступило в 1 и 2 испытании, а в 3 и 4 – не наступило.

По теореме сложения вероятностей для несовместных событий вероятность наступления события А в k из n испытаниях (сумма одинаковых слагаемых, каждое из которых равно ).

Таким образом,

(0 k n). (5.7)

Полученная формула носит название формулы Бернулли.

Ясно, что несовместные сложные события, состоящие в появлении события А 0 раз, 1 раз, 2 раза, …, n раз в n испытаниях образуют полную группу событий. Поэтому сумма вероятностей этих событий для 0 k n равна единице:

.

Это соотношение можно получить, непосредственно вычислив сумму , применив формулу бинома Ньютона ():

= = = =1.

Пример 5.27. Производится 6 выстрелов по мишени. Вероятность попадания в мишень при каждом выстреле 0,7. Какова вероятность, что после этого в мишени окажется 4 пробоины? Какова вероятность поражения мишени хотя бы одним выстрелом?

Решение. Для расчета вероятности 4 попаданий из 6 выстрелов воспользуемся формулой Бернулли. Вероятность попадания при одном выстреле p =0,7. q = 1– р= 0,3.

0,32.

Вероятность попадания в мишень хотя бы один раз по теореме сложения равна сумме вероятностей попадания в мишень одни раз, два раза, три раза, четыре раза, пять раз и шесть раз, т.к. эти события несовместны. Каждую из этих вероятностей можно вычислить по формуле Бернулли. Но значительно проще найти искомую вероятность через вероятность противоположного события – непопадания в мишень ни разу.

0,0007.

Таким образом, вероятность поражения мишени хотя бы одним выстрелом 1–0,0007 = 0,9993.

В заключение этой главы проведем аналогии между основными понятиями и операциями теории множеств, математической логики и теории вероятностей.

Теория множеств Основной объект – множество	Математическая логика Основной объект – высказывание	Теория вероятностей Основной объект – событие
Объединение множеств	Дизъюнкция высказываний	Сумма событий
Пересечение множеств	Конъюнкция высказываний	Произведение событий
Дополнение множества	Отрицание высказывания	Противоположное событие
Универсальное множество	Абсолютно истинное высказывание	Достоверное событие
Пустое множество	Абсолютно ложное высказывание	Невозможное событие

Операции объединения и пересечения множеств, дизъюнкция и конъюнкция высказываний, сумма и произведение событий обладают коммутативным, ассоциативным, дистрибутивным свойствами. Это еще раз подчеркивает глубокую связь между отдельными разделами математики, переход этой науки на высокий уровень абстракции изучения объектов.

Дата добавления: 2014-01-07