Определение понятия определенного интеграла

Предел (1.4) носит название определенного интеграла, а операция нахождения предела (1.4) – операции интегрирования функции на отрезке.

Сформулируем определение понятия определенного интеграла.

Пустьна отрезке задана функция , причем функция может принимать как положительные, так и отрицательные значения. Разобьем отрезок произвольным образом на n элементарных отрезков точками:

и обозначим через наибольший из отрезков , . На каждом из отрезков выберем произвольную точку и составим сумму:

называемую интегральной суммой для функции .

Определение. Предел (если он существует), к которому стремится интегральная сумма независимо от способа разбиения на элементарные отрезки и выбора на каждом из них точки , при стремлении к нулю, называется определенным интегралом от функции на отрезке и обозначается символом

(1.5)

Число называется нижним пределом интегрирования, число – верхним пределом, отрезок – отрезком интегрирования, – переменной интегрирования.

Классы интегрируемых функций

Определение. Функция , для которой существует предел (1.5), называется интегрируемой на отрезке [ a, b ].

Представим (без доказательства) важнейшие классы интегрируемых функций.

1 . Непрерывная на отрезке функция интегрируема на этом отрезке (рис. 1.2).

2. Ограниченная на отрезкефункция , имеющая конечное число точек разрыва, интегрируема на этом отрезке (рис. 1.3).

3⁰. Монотонная ограниченная функция всегда интегрируема.

Рис. 1.2 Рис. 1.3

Дата добавления: 2014-01-07