Воздушный трансформатор. Вносимые сопротивления

Воздушный трансформатор имеет две обмотки, намотанные на общем неферромагнитном сердечнике. Параметры первичной обмотки вторичной - Коэффициент взаимоиндукции M. Сопротивление нагрузки, подключенное к зажимам вторичной обмотки. Выберем положительные направления токов и Обозначим напряжение на нагрузке (рис.63).

Рис. 63. Воздушный трансформатор

Запишем уравнение в комплексной форме для первичной цепи:

(128)

Токи входят в одноименные зажимы, поэтому имеет место согласное включение магнитносвязанных катушек. Поэтому слагаемое в уравнении (128) взято со знаком «плюс».

Запишем уравнение для вторичной цепи:

(129)

Сгруппируем слагаемые по токам:

(130)

(131)

Помножим выражение (130) на а выражение (131) на и из первого уравнения вычтем второе. Слагаемые с током уничтожаются:

Поделим все члены на

Чтобы избавиться от j в знаменателе второго слагаемого левой части, умножим числитель и знаменатель на сопряженный комплекс

:

(130)

Далее выделим действительную и мнимую части в выражении (130):

(131)

Вторые слагаемые в квадратных скобках это активное вносимые сопротивления.

(132)

(133)

Вносимые сопротивления - это такие сопротивления, которые необходимо включить в первичную цепь последовательно с и, чтобы учесть влияние нагрузки вторичной цепи трансформатора на ток в его первичной цепи.

Векторную диаграмму воздушного трансформатора можно строить по уравнениям (128) и (129). Построение следует начинать со вторичной цепи. Направим ток по вещественной оси комплексной плоскости. Первыми следует откладывать напряжения на нагрузке и, чтобы можно было отметить угол между током и напряжением на нагрузке. (рис.64).

Рис. 64. Векторная диаграмма воздушного трансформатора при индуктивной нагрузке и согласном включении обмоток

Из рис. 64 видно, что ток отстает от напряжения на нагрузке на угол, а ток, отстает от ЭДС на угол, как и должно быть при индуктивной нагрузке.

Теперь нагрузку оставим прежнюю, а включение обмоток сделаем встречным (рис.65):

Рис. 65. Воздушный трансформатор

Запишем уравнения первичной и вторичной цепи:

(134)

(135)

Построим векторную диаграмму для этого трансформатора (рис. 66):

Рис. 66. Векторная диаграмма воздушного трансформатора при индуктивной нагрузке и встречном включении обмоток

Теперь сделаем включение обмоток согласным, а нагрузку емкостной (рис. 67):

Рис. 67. Воздушный трансформатор

Напишем уравнения первичной и вторичной цепи:

(136)

(137)

Рис. 68. Векторная диаграмма воздушного трансформатора при емкостной нагрузке и согласном включении обмоток.

Теперь сделаем включение обмоток встречным, а нагрузку оставим емкостной (рис. 69):

Рис. 69. Воздушный трансформатор

Запишем уравнения первичной и вторичной цепи:

(138)

(139)

Построим векторную диаграмму (рис. 70):

Рис.70. Векторная диаграмма воздушного трансформатора при емкостной нагрузке и встречном включении обмоток.

Балансы активных и реактивных мощностей с учетом магнитной связи.

В цепях синусоидального тока должны проверяться два баланса: баланс активных и и баланс реактивных мощностей.

Проще всего рассмотреть этот вопрос на примере разветвленной цепи (рис. 71):

Рис. 71. Электрическая схема

Прежде всего, определяют мощность источников электрической энергии = (140)

Баланс активных мощностей записывается так: активная мощность источников электрической энергии должна ровняться активной мощности приемников электрической энергии.

(141)

В рассматриваемой схеме резисторы включены в первую и вторую ветви. Поэтому активная мощность приемников будет равна:

(142)

И окончательное уравнение баланса активных мощностей будет выглядеть:

(143)

Баланс реактивных мощностей: реактивная мощность источников электрической энергии должна равняться реактивной мощности приемников электрической энергии с учетом магнитной связи.

В схеме рис.71 ток входит в начало катушки с индуктивностью, а ток входит в конец катушки с индуктивностью, то есть имеет место встречное включение магнитносвязанных катушек с коэффициентом взаимоиндукции М.

Реактивная мощность источников электрической энергии равна:

(144)

Реактивная мощность приемников электрической энергии будет:

(145)

где;

Последнее слагаемое в выражении (145) учитывает магнитную связь. Это слагаемое равно удвоенному произведению действующих значений токов магнитносвязанных ветвей на сопротивление магнитной связи и на косинус разности углов токов магнитносвязанных ветвей. Это слагаемое берется со знаком «минус», если катушки включены встречно и со знаком «плюс», если катушки включены согласно.

В данном случае катушки включены встречно, поэтому в выражении (145) это слагаемое взято со знаком «минус».

Уравнение баланса реактивных мощностей окончательно будет выглядеть:

(146)

Если магнитная связь отсутствует, то последнее слагаемое в правой части выражения (146) исчезнет.

Запишем уравнения баланса активных и реактивных мощностей еще для одной схемы (рис.72)

Рис.72. Электрическая схема

Уравнение баланса активных мощностей:

(147)

Уравнение баланса реактивных мощностей:

(148)

На схеме рис.72 токи входят в одноименные зажимы, поэтому имеет место согласное включение магнитносвязанных катушек. Последнее слагаемое в выражении (148) взято поэтому со знаком «плюс».

Круговые диаграммы

Построение дуги окружности по хорде и вписанному углу

Из геометрии известно, что вписанным углом называется угол, вершина которого находится на окружности, а стороны являются хордами (рис 73).

Так / ABC=𝜓 измеряется половиной дуги ADC, на которую он опирается, а / ADC- половиной дуги ABC.

/ ABC= ADC;

/ ADC= ABC.

Рис.73. Построение дуги окружности по хорде и вписанному углу

Сумма двух углов равна 𝜋:

/ ADC+ / ABC=𝜋

Сумма двух углов ADC и EDC также равна 𝜋:

/ ADC+ / EDC= 𝜋.

Поэтому / EDC= / ABC= 𝜓.

Какое бы положение не занимала точка D на дуге ADC, угол EDC остается неизменным и равным 𝜓, так как / ADC при любом положении точки D остается неизменным и равным половине дуги ABC.

/ EDC=𝜓=const.

Если представить, что точка D смещается к точке С и гол между хордами

AD и DC остается неизменным, то когда точка D совмещается с точкой С, хорда DC станет касательной, проведенной под углом 𝜓 к продолжению хорды АС.

Перпендикуляр к касательной и перпендикуляр к середине хорды АС обязательно пересекутся в центре окружности О и угол между ними также будет 𝜓. Отсюда следует, что если заданы хорда АС и вписанный угол 𝜓, то для нахождения центра окружности следует:

1) восстановить перпендикуляр к середине хорды;

2) под углом 𝜓 к продолжению хорды провести луч, который будет являться касательной к окружности;

3) восстановить перпендикуляр к касательной.

Пересечение перпендикуляра к середине хорды АС и перпендикуляра к касательной дает центр окружности.

Уравнение дуги окружности в векторной форме записи

Построения, аналогичные построениям рис.73, могут быть выполнены и на комплексной плоскости. В этом случае все хорды будут являться векторами.

Рис.74. Построение дуги окружности на комплексной плоскости.

На комплексной плоскости рис.74. совместим хорду с вещественной осью. Если угол 𝜓 положительный, то от продолжения хорды он должен быть отложен против часовой стрелки, при отрицательном угле 𝜓 – откладывается по часовой стрелке.

Обозначим;;.

Тогда (150)

Пусть модуль вектора будет в К раз больше модуля вектора:

Но вектор опережает вектор на угол. Это можно записать следующим образом:

(151)

Подставим (151) в (150), и получим:

+ K =

K)=

(152)

Это уравнение называют уравнение дуги окружности в векторной форме записи.

Если К=0, то = 0 и =. Тогда D, то есть конец вектора по дуге окружности ADC перемещается в точку С.

Если К = ∞, то = 0 и. Точка D, то есть конец вектора по дуге окружности ADC перемещается в точку А. Вектор становиться равным нулю.

При любом промежуточном положении точки D существуют оба вектора и, причём опережает всегда на один и тот же угол.

Таким образом, при изменении коэффициента К от 0 до ∞ меняются оба вектора и, но так, что угол между ними остаеться неизменным, а сумма векторов и равна вектору.

Или иначе можно сказать при изменении К от 0 до ∞ конец вектора скользит по дуге окружности, хордой которой являеться вектор. Или дуга окружности являеться геометрическим местом концов вектора.

Следует подчеркнуть, что рабочая дуга и луч, являющийся касательной, лежат по разные стороны от хорды и её продолжения.

Как на рис. 74 рабочая дуга – сплошная.

Нерабочая часть окружности обычно не рисуется, так как она не используется далее.

Рабочая дуга меньше половины окружности при и больше половины окружности при.

Дата добавления: 2014-01-07