Частные производные высших порядков

Правила дифференцирования

Для функций многих переменных справедлива те же правила вычисления дифференциала как и в случае функции одной переменной:

, (– постоянная);

;

;

.

Рассмотрим вначале функцию двух переменных . Пусть функция дифференцируема на некотором множестве . Каждая из частных производных первого порядка , также является функцией двух переменных и может иметь на этом множестве частные производные. Частные производные от производных первого порядка называются производными второго порядка и обозначаются следующим образом:

, ,

, .

Частные производные второго порядка и , полученные дифференцированием по разным переменным, называются смешанными.

Дифференцируя частные производные от производных второго порядка по переменным и , получим всевозможные частные производные третьего порядка:

, ,

, ,

, ,

, .

Определение. Частная производная по любой независимой переменной или от частной производной порядка называется производной -ого порядка.

Символически они записываются в следующем виде: , если дифференцируем раз по переменной , , если дифференцируем раз по переменной , , если производная берется раз по переменной и раз по , причем .

Производные -ого порядка вида , полученные последовательным дифференцированием по разным переменным, называются смешанными. Для смешанных производных любого порядка справедливо следующее утверждение.

Теорема 1. Значение смешанной производной -ого порядка в точке не зависит от порядка в котором производится дифференцирование.

То есть значение смешанной производной определяется лишь тем, сколько раз производится дифференцирование по переменной и сколько по переменной .

Так, например, , , .

Аналогично определяются частные производные произвольного порядка и для функций любого числа переменных. Рассмотрим функцию переменных .

Определение. Частная производная по любой независимой переменной от частной производной порядка называется производной -ого порядка функции .

Таким образом, соотношение, определяющее -ю частную производную по аргументам имеет вид

.

Частная производная, полученная дифференцированием по различным переменным (не все индексы совпадают между собой), называется смешанной производной.

Определение. Функция называется раз дифференцируемой в точке , если все частные производные -го порядка этой функции являются дифференцируемыми функциями в точке .

Для смешанных производных функции многих переменных справедливо утверждение, аналогичное теореме 1.

Теорема 2. Пусть функция раз дифференцируемой в точке . Тогда в этой точке значение любой смешанной производной го -ого порядка не зависит от порядка, в котором производятся последовательные дифференцирования.

Дата добавления: 2014-01-07