Дифференцирование сложной функции

Рассмотрим сложную функцию , где

, . (9)

Теорема. Пусть функции (9) дифференцируемы в некоторой точке , а функция дифференцируема в соответствующей точке , где . Тогда сложная функция

дифференцируема в точке . При этом частные производные этой сложной функции в точке определяются формулами

, , (10)

где все частные производные берутся в точке , а все частные производные берутся в точке .

В частном случае, если все переменные являются функциями только одной переменной , то функция также является сложной функцией одной переменной и имеет в точке обычную производную . Формула для вычисления этой производной получается заменой в формуле (10) частных производных на обычные производные

. (11)

Пример. Пусть , , . Найдем , используя формулу (11). Для функции двух переменных и это формула принимает вид

. (12)

Для заданной функции

, , , .

Подставляя найденные значения производных в (12) получим

.

Дата добавления: 2014-01-07