Квантово-механическая модель атома

Принцип тождественности одинаковых микрочастиц. Симметричные и антисимметричные состояния (волновые функции) тождественных микрочастиц. Бозоны и фермионы. Принцип Паули. Периодическая система элементов.

Лекция 10. Квантовые системы из одинаковых частиц.

По представлениям классической физики частицы можно различить либо сравнивая их свойства (масса, электрический заряд, спин), либо отслеживая траекторию каждой частицы. Это основано на том, что в классической механике в процессах взаимодействия частиц можно измерить положение каждой частицы с бесконечной точностью. Но этот подход противоречит принципам квантовой механики. Состояние частицы в квантовой механике описывается с помощью волновой функции, которая позволяет определить лишь вероятность нахождения частицы в данной точке пространства. В случае перекрытия в пространстве волновых функций двух (или более) частиц с одинаковыми свойствами происходит «перекрытие» областей обнаружения этих частиц. Тогда поведение системы в целом описывается одной волновой функцией, следовательно, в этом случае, нет смысла говорить о том, какая из частиц находится в данной точке области; имеет смысл говорить лишь о вероятности нахождения в окрестности этой точки одной из частиц. В квантовой механике одинаковые частицы, как говорят, являются «неразличимыми».

Тождественные (иначе неразличимые) частицы - это частицы, которые принципиально не могут быть распознаны и отличены одна от другой. К таким частицам относятся: элементарные частицы (электроны, нейтроны и т.д.), а также составные микрочастицы, такие как атомы и молекулы. Существует два больших класса тождественных частиц: бозоны и фермионы.

Частицы с целым спином относят к классу бозонов. Частицы с полуцелым спином относят к классу фермионов.

Принцип тождественности одинаковых частиц гласит, что в замкнутой системе для одинаковых (то есть обладающих одинаковыми свойствами: массой, зарядом, спином и т.п.) частиц реализуются только такие квантовые состояния, которые не меняются при перестановке мест двух любых одинаковых частиц.

Принцип тождественности является одним из основных различий между классической и квантовой механикой. В классической механике можно проследить за движением отдельных частиц по траекториям и таким образом отличить их друг от друга. В квантовой механике тождественные частицы полностью лишены индивидуальности.

Замечание. Принцип тождественности в квантовой механике является существенно новым, то есть он логически не вытекает из остальных основных её положений, но он им не противоречит. Этот принцип подтверждается всей совокупностью опытных фактов.

Рассмотрим волновую функцию, описывающую систему тождественных частиц. Согласно принципу тождественности состояние системы не изменится, если поменять местами любые две частицы. Зависимость пси-функции от параметров переставляемых частиц условно обозначим цифрами 1 и 2. Тогда волновая функция до перестановки имеет вид , а после перестановки . Так состояние системы не меняется при перестановке, то функция плотности вероятности не должна измениться и в каждой точке области выполняется равенство:

.

Это выполняется в частности, если при перестановке частиц пси-функция либо меняет знак: , либо не меняет знак: .

Говорят, что если при перестановке любых двух аргументов функция меняет знак, то она является антисимметричной (по аргументам), если нет – то симметричной.

Системы фермионов описываются антисимметричными функциями, а системы бозонов – симметричными функциями.

Принцип Паули.

Прямым следствием принципа тождественности одинаковых частиц является принцип Паули.

Принцип Паули (принцип запрета) - один из фундаментальных принципов квантовой механики, согласно которому два и более тождественных фермиона не могут одновременно находиться в одном квантовом состоянии (с одинаковым набором квантовых чисел).

Принцип Паули можно сформулировать следующим образом: в пределах одной квантовой системы в данном квантовом состоянии может находиться только один фермион, состояние другого должно отличаться хотя бы одним квантовым числом.

В системе, состоящей из тождественных бозонов нет ограничений на количество частиц, которые могут находиться в одном состоянии.

Отсюда следует, что статистические функции распределения частиц в системах, состоящих из тождественных бозонов, и в системах, состоящих из тождественных фермионов, должны быть различными. Поведение систем тождественных фермионов описывается статистикой Ферми – Дирака, а бозонов – статистикой Бозе-Эйнштейна.

Современная модель атома является развитием планетарной модели. Согласно этой модели, ядро атома состоит из положительно заряженных протонов и не имеющих заряда нейтронов и окружено отрицательно заряженными электронами. Однако представления квантовой механики не позволяют считать, что электроны движутся вокруг ядра по сколько-нибудь определённым траекториям (неопределённость координаты электрона в атоме может быть сравнима с размерами самого атома). Говорят, что электроны образуют «электронное облако» вокруг ядра.

Электронное облако изолированного атома не изменяет своей формы с течением времени относительно ядра. Говорят, что электрон «движется» по орбитали. Существует дискретный набор таких орбиталей, и электроны могут находиться длительное время только в этих состояниях.

Замечание. Название «орбиталь» (а не орбита) отражает отличие от классического движения по траектории.

Орбиталь - одноэлектронная волновая функция в сферически симметричном электрическом поле атомного ядра, задающаяся главным n, орбитальным l и магнитным m квантовыми числами.

Дата добавления: 2014-01-07