ЧАСТЬ 1. События

ЛЕКЦИЯ 6. Основные понятия теории вероятностей. Вероятностные методы обработки информации.

Теорию вероятности можно определить как раздел математики, в котором изучаются закономерности присущие массовым случайным явлениям. Методы теории вероятности широко применяются при математической обработке информации.

Задача теории вероятностей заключается в построении вероятностных моделей случайных экспериментов. Вероятностная модель позволяет придать строгий математический смысл таким словам, как «случайность», «событие», «вероятность», «правдоподобный» и т.п., позволяет оценить шансы на появление различных результатов, возможных в данном случайном эксперименте.

Надо отдавать себе отчет в том, что, как всякая модель, и вероятностная модель тоже, является некоторой идеализацией описываемого эксперимента – она не предназначена для воспроизведения всех деталей, а воплощает лишь основные черты явления. В частности при подбрасывании монеты мы предполагаем что, результатом эксперимента не может быть пропажа монеты или приземление ее на ребро. Кроме того, чрезвычайно важным в теории вероятностей является предположение о принципиальной возможности многократного повторения случайного эксперимента. Если такой возможности нет, то построение вероятностной модели не имеет смысла.

К основным понятиям теории вероятностей относятся испытание (опыт), событие, вероятность.

Определение. Под «испытанием» или «опытом» будем понимать любой процесс, происходящий вокруг нас.

Определение. Результаты испытаний, опытов, наблюдений называют событиями.

Пример. Экзамен – испытание; студент получил “отлично” – событие; планета “Земля” вращается вокруг своей оси – испытание, смена дня и ночи – событие; подбрасывание игральной кости – испытание, выпадение четного числа очков – событие.

Различают события трех видов:

а) достоверные, которые в результате испытаний всегда наступают;

б) невозможные, которые никогда не могут произойти;

с) случайные, результаты которых не прогнозируются единственным образом.

Например, падение подброшенной монеты на землю – событие достоверное, а ее неограниченное удаление от земли – невозможное событие. Падение монеты на определенную сторону (цифрой вверх или вниз) – событие случайное.

Условимся обозначать достоверное событие – U, невозможное – V, случайные – A,B,C,…

Событие называют элементарным, или исходом, если оно “неразложимо” в данном опыте, т.е. в изучаемой ситуации нет необходимости рассматривать его состоящим из более простых событий. Например, при бросании монеты элементарным исходом будет выпадение орла или решки, при бросании шестигранного кубика – выпадение 1, 2, 3, 4, 5 или 6.

Множество всех элементарных событий (исходов), связанных с данным опытом, называют пространством элементарных событий, которое отождествляется с достоверным событием. Для приведенного выше примера про бросание монеты пространством элементарных событий будет множество = {орел, решка}, оно тождественно достоверному событию, так как в результате бросания монеты обязательно наступит событие, входящее в это множество. Соответственно в примере про бросание кубика, множеством элементарных событий будет множество очков, выпадающих на верхней грани = {1, 2, 3, 4, 5, 6}, при однократном бросании мы увидим на верхней грани один из элементов этого множества, то есть множество элементарных исходов тождественно достоверному событию.

Определение. Два события называются совместимыми (совместными), если появление одного из них не исключает появление другого в одном и том же испытании.

Пример. Испытание: однократное бросание игральной кости. Событие А – появление трех очков, событие В – появление нечетного числа очков. События А и В совместимые.

Определение. Два события называются несовместимыми (несовместными), если появление одного из них исключает появление другого в одном и том же испытании.

Пример. Испытание: однократное бросание монеты. Событие А – выпадение герба, событие В – выпадение цифры. События А и В несовместимые, так как появление одного из них исключает появление другого.

Испытание: однократное бросание кубика. Событие А – выпадение четного числа очков, событие В – выпадение нечетного числа очков. События А и В несовместные, так как появление одного из них исключает появление другого.

Определение. Два события А и В называются противоположными, если в данном испытании они несовместимы и одно из них обязательно происходит.

Событие, противоположное событию А, обозначают через не-А.(ùА, А’)

Пример. Испытание: бросание монеты. Событие А — выпадение орла, событие В — выпадение решки. Эти события противоположны, так как исходами бросания могут быть лишь они, и появление одного из них исключает появление другого, т. е. А=не-В или не-А=В.

Дата добавления: 2014-01-07