E) Погрешности функций измеренных величин

4 125.08 - 2 4

3 125.08 - 2 4

2 125.12 + 2 4

1 125.10 0 0

5 04 +3 9

4 05 +4 16

3 02 +1 1

2 03 + 2 4

1 110.01 110.01 0 0

= 30

m = = 2.45 см.

Утроенное значение ср.кв.ош. принимается в качестве предельной ошибки D _пр = 3m при вероятности р = 0.997. При вероятности р = 0.99 предельная ошибка D _пр = 2.5 m, а при вероятности р = 0.95 D _пр. = 2 m

в) Оценка точности измерений по формуле Ф. Бесселя (по вероятнейшим уклонениям)

При выполнении измерений истинное значение измеряемой величины, как правило, неизвестно. В этом случае ср.кв.ош. отдельного измерения вычисляют по вероятнейшим уклонениям V измеренных величин от их среднего арифметического.

Формулу для оценки результатов измерений по вероятнейшим уклонениям вывел немецкий астроном Ф. Бессель, которая представляется в виде

m = =, (10)

где V_i - уклонение отдельных измерений l _i от их среднего арифметического l _ср (V_i = l _i - l _ср );

n -число измерений.

Среднюю квадратическую ошибку М среднего результата измерения

в этом случае вычисляют по формуле

М = . (11)

Пример обработки результатов измерения длины линии приводится в таблице 2.

Таблица 2 Обработка результатов измерений по формуле Ф. Бесселя

№ № Измеренная

измерений величина, V_i, см V² _i,см

l _i, м

5 125.12 + 2 4

n = 5 l ср = 125.10 м =0 =16

m = 2 см, М = 0.9 см.

д) Оценка точности измерений по разностям двойных измерений

При выполнении топографо-геодезических работ одну и ту же величину часто измеряют дважды. Например, длины сторон теодолитного хода измеряют землемерной лентой прямо и обратно, горизонтальные углы - двумя полуприёмами и т.д. В этом случае оценку точности результатов измерений выполняют по разностям двойных измерений. При этом, если оценивают точность определения одной разностииз всей совокупности измерений, то вычисляют её среднюю квадратическую ошибку m _{d i} из соотношения, близкого по своему смыслу к формуле К. Гаусса, т.к. истинные ошибки разностей равны нулю

m _{d i} = =, (12)

где d _i - разности двойных измерений l _{1 ,} l_;

n - число двойных разностей.

Каждая разность образована как d _i = l ₁ - l ₂. Поэтому ср.кв.ош. одной разности d выражается формулой m ²_d = m ²_l + m²₂ . Так как измерения l равноточны, то m _l = m ₂ = m _l . Следовательно, m² _d = 2 m² _{l .} Отсюда m _d = m _l , а

m _l = m _d /. (13)

Подставив в формулу (12) соотношение для m _d (11), получим выражение для ср.кв.ош.. m _l отдельного измерения l _i по разностям двойных измерений

m _{l i} = . (14)

Из разности двойных измерений l ₁ и l ₂ обычно берут среднее значение

l ср. = , (15)

тогда согласно формуле (13)

m _{l ср.} = . (16)

Подставляя в формулу (16) выражение (14) для m _l , получим формулу для оценки точности среднего арифметического из всей совокупности измерений по разностям двойных измерений

m _{l ср.} = . (17)

Приведенные формулы (12), (14), (17) справедливы для случая, когда разности двойных измерений являются случайными ошибками (свободны от систематических ошибок), т.е. тогда, когда выражение = 0 или близко к нулю. Если это выражение заметно отличается от нуля, то формулы, приведенные выше для оценки точности результатов измерений по разностям двойных измерений, применять нельзя.

В этом случае необходимо определить систематическую ошибку по формуле

= (18)

и исключить её из каждой разности двойных измерений, вычислив величины по формуле

= d _i - . (19)

Значения ошибок являются по существу уклонениями разностей d _i от их арифметической средины , т.е. являются вероятнейшими ошибками. Следовательно, для оценки точности измерений по результатам двойных измерений может быть применена формула Бесселя.

В этом случае ср.кв.ош. определения одной разности m _{d i} из всей совокупности двойных измерений определяют по формуле

m _{d i} = . (20)

Средние квадратические ошибки определения отдельного результата измерения m _{l i} и среднего арифметического m _{l ср.} из всей совокупности измерений вычисляют из соотношений

m _{l i} = , (21)

m _{l ср.} = . (22)

В практике топографо-геодезических работ искомые величины часто определяют как функции измеренных величин. Полученные при этом результаты содержат ошибки, зависящие от вида функции и ошибок аргумента. Рассмотрим основные ошибки функций измеренных величин.

1) Функция вида z = x y (23)

m ²_z = m ²_x + m² _y; при m _x = m _y = m

m _z = m . (24)

2) Функция вида z= kx (25)

m _z = k m _x. (26)

3). Функция вида

z = x y t .... .... u (27)

m²_z = m² _x + m² _y + m² _t +... +... m² _u ; (28)

при m _x = m _y = m_t =...= m _u = m

m _z = m , (29)

где n - число аргументов.

4) Функция вида

z = k ₁x₁ k₂x₂ k₃x₃ ...k_nx_n (30)

m²_z = k²₁m ²_x+ k²₂ m²_x+ k²₃m ²_x+....+....k² m²_x (31)

при к ₁ = к ₂ = к ₃ =...=к _n = k

m²_z = k m . (32)

5). Функция общего вида

z = f (x ₁ , x _2, x ₃ .... x _n ) (33)

m ² _z = m² +m ² +

+m² +... m². (34)

Дата добавления: 2014-01-07