Основные теоремы о бесконечно малых последовательностях

Теорема 1. Сумма двух бесконечно малых последовательностей есть бесконечно малая последовательность

.

Следствие. Алгебраическая сумма любого конечного числа бесконечно малых последовательностей есть бесконечно малая последовательность.

Теорема 2. Бесконечно малая последовательность ограниченна.

Теорема 3. Произведение ограниченной последовательности на бесконечно малую последовательность является бесконечно малой последовательностью

Следствие. Произведение любого конечного числа бесконечно малых последовательностей является бесконечно малой последовательностью.

Замечание 1. Частное двух бесконечно малых последовательностей может быть последовательностью любого типа и даже может не иметь смысла:

1. Если, например, a_n = 1/n и b_n = 1/n, то все элементы последовательности {a_n / b_n } равны 1.

2. Если a_n = 1/n, b_n = 1/n² , то {a_n / b_n }ÎБ.

3. Если a_n = 1/n², b_n = 1/n, то {a_n / b_n }Îd.

При определении частного двух последовательностей предполагается, что у последовательности {b_n } все элементы b_n отличны от нуля, начиная с некоторого номера.

Теорема 4. Если все элементы бесконечно малой последовательности {a_n} равны одному и тому же числу с, то с=0

.

Теорема 5. Если последовательность {x_n} является бесконечно большой, то начиная с некоторого номера n определена последовательность {1/x_n}, которая является бесконечно малой. Если все элементы бесконечно малой последовательности {a_n} не равны 0, то последовательность {1/a_n} является бесконечно большой.

Дата добавления: 2014-01-07