Число е

Рассмотрим пример последовательности, для исследования сходимости которой будет использована вышеуказанная теорема (п. 2.7.) о пределе монотонной последовательности.

Пусть дана последовательность , т.е. каждый элемент этой последовательности . Покажем, что эта последовательность возрастает и ограничена сверху.

Используя формулу бинома Ньютона

получим

или

или

. (1)

Аналогично этому

Очевидно, что 1) для любого ;

2) все члены последовательности строго положительны;

3) x_n+1 по сравнению с х_n содержит лишний положительный член.

Поэтому х_n<x_n+1 и - возрастающая последовательность. Покажем теперь ограниченность сверху этой последовательности.

Используем неравенство

. (2)

Действительно,

Учитывая, что каждое выражение в круглых скобках формулы (1) строго меньше 1, и заменяя его поэтому единицей, получим, что

Суммируя n-1 член убывающей геометрической прогрессии со знаменателем , получим

Итак, последовательность возрастает и ограничена сверху.

По доказанной теореме (п. 2.7.) эта последовательность имеет предел, который называют числом е.

По определению .

Дата добавления: 2014-01-07