Предел функции

Понятие функции нескольких переменных.

Рассмотрим арифметическое n-мерное пространство.

Rⁿ = {(x₁,x₂,…,x_n)│x₁,x₂,…,x_n ÎR}.

Пусть Х ─ подмножество элементов множества Rⁿ и Y ─ некоторое множество элементов у. Если каждому элементу (x₁,x₂,…,x_n)ÎХ поставлен в соответствие единственный элемент уÎΥ, то говорят на множестве Х задана функция у = f(x₁,…x_n) со значениями в множестве Y. Такая функция называется функцией n переменных x₁,x₂,…,x_n.

В частности, при n = 2 имеем функцию двух аргументов у = f(x₁,x₂) или z = f(x;y). При n = 3 получаем функцию трёх переменных у = f(x₁,x₂,x₃) или u = f(x;y;z).

Рассмотрим функцию у = f(x), определённую в некотором интервале, содержащем точку х = а.

Определение. Число А называется пределом функции у = f(x) при х, стремящемся к a (или в точке а), если для любого числа e>0 существует такое d>0, что при всех х, удовлетворяющих условию

0 < │х − а│< d, (1)

выполняется неравенство

│f(x) − A│< e. (2)

Обозначения предела функции f(x) при х, стремящемся к а:

f(x) = A;

f(x) → A при х → а.

Выясним геометрический смысл этого определения, воспользовавшись, графиком функции у = f(x) (рис.12.1). Неравенство (1) означает, что х отстоит от точки а не далее, чем на d, т.е. принадлежит интервалу (а − d; а + d). Неравенство (2) означает, что значения функции у = а(ч) не выходят из интервала (А − e; А + e) оси Оу. Следовательно, точки М графика функции у = f(x) должны находится в полоске шириной 2e, ограниченной прямыми у = А − e, у = А + e для всех значений х, удалённых от точки а не далее, чем на d.

Пример. Используя определение предела функции, доказать, что

(3х – 2)= 1.

Решение. Возьмём произвольное e>0. Задача состоит в нахождении числа d>0 такого, что из неравенства │х – 1│< d следовало бы неравенство │f(x) – 1│=

=│(3х – 2)│< e. Из последнего неравенства имеем │3х – 3│< e, т.е. │х – 1│< . Следовательно, если взять d £ , то для всех х, удовлетворяющих неравенству

0 <│х – 1│< d, будет выполнятся неравенство │(3х – 2)│< e. Это означает, что (3х – 2)=1.

Пример. Используя определение предела функции, доказать, что (х∙sin)=0.

Решение. Пусть e > 0. Необходимо найти такое число d > 0, при котором из неравенства │х – 0│< d следовало бы неравенство │х∙sin− 0│< e. Преобразуем последнее неравенство, учитывая, что │sin│£ 1 при х≠ 0.

│ х∙sin│=│х│∙│sin│£│х│< e.

Следовательно, взяв d £ e, из неравенства │х − 0│< d будет вытекать неравенство │ х∙sin− 0│< e. Следовательно, (хsin)=0.

Дата добавления: 2014-01-07