Доказательство

1) Пусть f(x) = f(x) = A. Тогда по определению односторонних пределов, для любого e>0 существуют числа d₁>0 и d₂>0 такие, что для всех х, удовлетворяющих неравенствам а<x<a+d₁, a−d₂< x < a, выполняется неравенство │f(x)−A│<e. Возьмём d = min{d₁,d₂}. Тогда для всех х, удовлетворяющих неравенствам а−d<x<a+d(или 0<│х−а│<d) выполняется неравенство │f(x)−A│<e. Это означает, что f(x) = A.

2) Пусть теперь f(x) = A. Тогда по определению, для любого e>0 существует число d>0 такое, что для всех х, удовлетворяющих неравенствам 0 <│х − а│< d, выполняется неравенство │f(x)−A│<e. Следовательно, для e>0 существует d>0 такое, что для всех х, удовлетворяющих неравенствам а<x <a+d, (или a−d < x <a), выполняется неравенство │f(x)−A│<e. Это означает, что существует односторонние пределы f(x) и f(x), причём оба они равны числу А.

Пример. Доказать, что функция

f(x) = не имеет предела в точке х = 0.

Решение. Функция f(x) определена на всей числовой прямой.

При х£0 функция f(x) = x². Пусть e>0. Необходимо найти такое d>0, что как только −d<x<0, то │f(x)│=│x²│<e. Таким d будет . Так как необходимое d существует, то f(x)=0.

При х>0 функция f(x) = x+1. Покажем, что f(x)=1. Пусть e>0. Найдём d>0 такое, что как только 0<x<d, будет выполняться неравенство │х+1−х│<e. Действительно, взяв d = e, получим требуемое. Следовательно, f(x)=1.

Так как f(x) ≠ f(x), то по теореме1 f(x) не существует.

Дата добавления: 2014-01-07