Предел функции при стремлении аргумента к бесконечности

Определение. Число А называется пределом функции у = f(x) при х→ ¥, если для любого положительного числа e>0 существует положительное d такое, что для всех значений х, удовлетворяющих условию │х│<d, выполняется неравенство │f(x) − A│<e. Обозначение f(x) = А.

Введём также понятие предела функции при стремлении х к +¥ или −¥.

Определение. Число А называется пределом функции у = f(x) при х → +¥ (х → − ¥), если для любого положительного числа e существует число d>0 такое, что для всех х, удовлетворяющих условию х>d (х<−d) выполняется неравенство │f(x) − A│<e. Обозначается: f(x) = А (f(x) = А).

Пример. Доказать, что .

Решение. Пусть e>0. Необходимо найти такое d>0, что из неравенства х>d следовало бы неравенство

< e.

Рассмотрим левую часть неравенства

===.

Так как х>0, то =.

Из неравенства <e имеем х>.

Итак, если взять d = , то для всех х>d будет выполняться неравенство

< e. Следовательно, .

Дата добавления: 2014-01-07