Свойства бесконечно малых функций

Бесконечно большие и бесконечно малые функции.

Определение. Функция a = a(х) называется бесконечно малой при х→а (или при х→¥), если a(х) = 0 (a(х) = 0).

Например, функция a(х)=(х–3)² будет бесконечно малой при х→3, т.к. (х−3)²=0; функция a(х)=является бесконечно малой при х→¥, т.к. =0

1) Если функция у = у(х) имеет предел А при х→а, то у(х) = А + a(х), где a(х) ─

бесконечно малая функция при х→а.

2) Если функция у(х) = А + a(х), где А ─ число, a(х) ─ бесконечно малая

функция при х→а, то у(х) = А.

3) Сумма конечного числа бесконечно малых функций при х→а есть бесконечно

малая функция при х→а.

4) Произведение двух бесконечно малых функций при х→а есть бесконечно

малая функция при х→а.

5) Произведение бесконечно малой функции при х→а на ограниченную

функцию, есть бесконечно малая функция при х→а.

6) Произведение бесконечно малой функции при х→а на постоянную функцию,

есть бесконечно малая функция при х→а.

Определение. Функция у = f(x) называется бесконечно большой при х→а, если для любого положительного числа N можно найти такое число d>0, что при всех х, удовлетворяющих условию 0 <│х−а│< d, выполняется неравенство │f(x)│> N.

Бесконечно большая функция не имеет предела при х→а, но иногда условно говорят, что её предел равен бесконечности и пишут f(x) = ¥ или f(x)→¥ при х→а. Если f(x) стремится к бесконечности, принимая только положительные или только отрицательные значения, то соответственно пишут f(x) = +¥, f(x) = −¥.

Примером бесконечно большой функции является функция f(x) = при х→0, или функция g(x) = при х→2.

Дата добавления: 2014-01-07