Решение. Данную функцию можно представить в виде у = , где

Данную функцию можно представить в виде у = , где . Тогда по теореме 2

у'() = у '()×'() = ()'×()' = ×= ×.

Замечание. В теореме 2 мы рассмотрели сложную функцию, где у зависит от переменной t через одну промежуточную переменную х. Возможна и более сложная зависимость ─ с несколькими промежуточными переменными. При этом правило дифференцирования остаётся прежним.

Пример. Вычислить производную функцию у = tg²(²+1).

Решение. Данную функцию можно представить в виде у = ², = tg, = ²+1. Тогда

у'() = у '()×'()×'() = (²)'×(tg)'×(²+1)' = =tg.

Мы уже отмечали, что производная f '(х) функции у = f(x) сама является функцией аргумента х. Следовательно, по отношению к ней снова можно ставить вопрос о существовании и нахождении производной.

Определение. Назовём f '(х) производной первого порядка функции у = f(x),

дифференцируемой на некотором промежутке (). Производная от f '(х) называется производной второго порядка функции у = f(x) и обозначается f ''(x). Производная от

f ''(x) называется производной третьего порядка, обозначается f '''(x). Таким образом определяется производная n-го порядка для любого натурального n. Производные, начиная со второй, называются производными высшего порядка и обозначаются: у'', у''', у⁽⁴⁾, у⁽⁵⁾,…, у⁽ⁿ⁾,…. Итак, по определению

у⁽ⁿ⁾ = (у^(n-1))', n = 2,3,….

Пример. Вычислить производную третьего порядка функции у = .

Дата добавления: 2014-01-07