Теорема (достаточное условие возрастания и убывания функции)

Если в данном промежутке производная функции положительна, то функция возрастает в этом промежутке; если производная отрицательна, то функция убывает в соответствующем промежутке; если же производная равна нулю, то функция постоянна на промежутке.

Доказательство. Рассмотрим функцию y = f(x) на (). Возьмём произвольно х₁,х₂Î () такие, что х₁ < х_2. По теореме Лагранжа

f(x₂) – f(x₁) = f '(c)(x₂ − x₁),

где сÎ(х₁;х₂). Возможны следующие случаи:

1) производная f '(x) > 0 на (). Тогда f '(c) > 0, x₂ − x₁ > 0 и поэтому f(x₁) − f(x₂) > 0, т.е. f(x₁) < f(x₂). Следовательно, f(x) возрастает на ().

2) производная f '(x) > 0 на (). Тогда f '(c) > 0, x₂ − x₁ > 0 и поэтому f(x₁) − f(x₂) < 0, т.е.

f(x₁) > f(x₂). Следовательно, функция у = f(x) убывает на ().

3) производная f '(x) = 0 на (). Тогда f '(c) = 0, откуда f(x₁) − f(x₂) = 0, т.е. f(x₁) = f(x₂).

Это означает, что функция у = f(x) постоянна на ().

Дата добавления: 2014-01-07