Студопедия

КАТЕГОРИИ:


Архитектура-(3434)Астрономия-(809)Биология-(7483)Биотехнологии-(1457)Военное дело-(14632)Высокие технологии-(1363)География-(913)Геология-(1438)Государство-(451)Демография-(1065)Дом-(47672)Журналистика и СМИ-(912)Изобретательство-(14524)Иностранные языки-(4268)Информатика-(17799)Искусство-(1338)История-(13644)Компьютеры-(11121)Косметика-(55)Кулинария-(373)Культура-(8427)Лингвистика-(374)Литература-(1642)Маркетинг-(23702)Математика-(16968)Машиностроение-(1700)Медицина-(12668)Менеджмент-(24684)Механика-(15423)Науковедение-(506)Образование-(11852)Охрана труда-(3308)Педагогика-(5571)Полиграфия-(1312)Политика-(7869)Право-(5454)Приборостроение-(1369)Программирование-(2801)Производство-(97182)Промышленность-(8706)Психология-(18388)Религия-(3217)Связь-(10668)Сельское хозяйство-(299)Социология-(6455)Спорт-(42831)Строительство-(4793)Торговля-(5050)Транспорт-(2929)Туризм-(1568)Физика-(3942)Философия-(17015)Финансы-(26596)Химия-(22929)Экология-(12095)Экономика-(9961)Электроника-(8441)Электротехника-(4623)Энергетика-(12629)Юриспруденция-(1492)Ядерная техника-(1748)

Экстремум функции. Необходимое и достаточное условие экстремума

Читайте также:
  1. I. Экстремумы функции двух переменных
  2. N В зоне минерализации усиливаются окислительные процессы, распадается гликоген, синтезируется необходимое количество АТФ
  3. Агрегатные функции.
  4. Алгоритмизация структурой цикла с постусловием
  5. Алгоритмизация структурой цикла с предусловием
  6. Анализ на чувствительность оптимального решения к изменению коэффициентов целевой функции.
  7. Апроксимирующей функции.
  8. Асимптоты графика функции.
  9. Банковская система. Банки и их функции.
  10. Биржа труда (БТ) и ее функции.
  11. В товарном производстве закон стоимости выполняет три функции.
  12. В-четвертых, важным условием каждой заявки является уровень цены.



 

Рассмотрим функцию у=f(x), определённую на промежутке (). Пусть х0Î(), δ ─ некоторое положительное число. Будем называть δ-окрестностью точки х0 интервал (х0 − δ;х0 + δ) и обозначать его О(х0;δ).

 

Определение.Если можно указать такую δ-окрестность точки х0, принадлежащую (), что для всех хÎО(х0;δ), х ≠ х0, выполняется неравенство

f(x0) > f(x),

 

то у0 = f(x0) называют максимумом функции у = f(x)и обозначают через max f(x) (рис.17.1).

Если же для всех хÎО(х0;δ), х ≠ х0, выполняется неравенство

f(x0) < f(x),

 

то у0 = f(x0) называют минимумом функции у = f(x)и обозначают через min f(x) (рис.17.2.).

 

 

Отметим, что максимум и минимум функции имеют локальный характер (это наибольшее и наименьшее значение функции в достаточно малой окрестности соответствующей точки); отдельные минимумы некоторой функции могут оказаться больше максимумов ой же функции (рис.17.3).

Определение.Максимум и минимум функции называют экстремумом.Значение аргумента, при котором достигается экстремум, называется точкой экстремума.

 

Теорема (необходимое условие экстремума).

В точке экстремума дифференцируемой функции производная её равна нулю.

Доказательство. Пусть х0 ─ точка экстремума дифференцируемой функции f(x). Для определённости положим, что х0 ─ точка максимума. Тогда для достаточно малых (< δ, δ > 0) , поэтому . Теперь

< 0 при > 0;

> 0 при < 0;

откуда

≤ 0,

≥ 0.

Так как функция дифференцируема, то

0 ≤ = f '(x0) = ≤ 0,

откуда следует f '(x0) = 0. Аналогично рассматривается случай, когда х0 ─ точка минимума функции.

 

Замечание 1. Если f '(x0) = 0, то отсюда ещё не следует, что х0 ─ точка экстремума. Например, для функции f(x) = x3, f '(x) = 3x2, f '(0) = 0, но х0 = 0 не является точкой экстремума, т.к. f(x) > 0 при х > 0 и f(x) < 0 при х < 0 (рис.17.4).

 

 

 

Замечание2.Функция может достигать экстремума также в точке, в которой производная не существует. Например, функция у = не имеет производной в точке х0 = -1, но достигает в ней максимума (рис.17.5).

Функция у = не имеют конечной производной в точке х0 = 0, т.к.

у' = при х = х0 = 0 обращается в бесконечность, но в этой точке функция имеет минимум (рис.17.6).

Определение.Точка, в которой производная равна нулю, называется стационарной. Стационарные точки, а также точки, в которых функция имеет бесконечную производную или в которой производная не существует, называются критическими.



Таким образом, точки экстремума следует искать среди критических точек.

 

Определение.Говорят, что функция у = f(x) меняет знак при переходе через точку х=х0,если f(x1)f(x2) < 0 для любых х1, х2 из некоторой окрестности этой точки, удовлетворяющих неравенствам х1 < x0 < x2; знак меняется с плюса на минус, если f(x1)>0, f(x2) < 0; знак меняется с минуса на плюс, если f(x1) < 0, f(x2) > 0.

 

Теорема (достаточное условие экстремума).

Пусть функция у = f(x) дифференцируема в некоторой окрестности точки х0. если в точке х = х0 производная функции f(x) равна нулю и меняет знак при переходе через точку х0, то точка х0 является точкой экстремума, причём: 1) х0 ─ точка максимума, если знак меняется с плюса на минус; 2) х0 ─ точка минимума, если знак меняется с минуса на плюс.

Доказательство. Пусть в точке х0 производная равна нулю и меняет знак с минуса на плюс, т.е. f '(x0) = 0, f '(x) < 0 при х0 −δ < x < x0, f '(x) > 0 при х0 < x < x0 + δ (δ>0). Тогда функция f(x) по теореме о достаточном условии возрастания и убывания функции убывание (х0 −δ;х0) и возрастает на интервале (х00+δ), т.е. f(x0) < f(x) для всех хÎО(х0,δ)= =(х0−δ;х0+δ), х ≠ х0. Следовательно, х0 ─ точка минимума.

Аналогично рассматривается случай, когда производная меняет знак с плюса на минус.

 

Достаточное условие экстремума можно выразить также с помощью второй производной.

 

Теорема (достаточное условие экстремума).

Если в точке х = х0 первая производная дифференцируема в некоторой окрестности точки х0 функции у = f(x) равна нулю, а вторая производная отлична от нуля, то х0 является точкой экстремума, причём: 1) х0 ─ точка минимума, если f ''(x0) > 0; 2) х0 ─ точка максимума, если f ''(x0) < 0.

 

Пример.Найти экстремумы функции f(x) = .

Решение. Поскольку f '(x) = , то критическими являются только стационарные точки , , .

Исследуем знак второй производной f ''(x) = в этих точках:

f ''() = 12×2 −20 > 0, f ''(0) = −20 < 0, f ''() = 12×5 −20 > 0.

Следовательно, , ─ точки минимума, ─ точка максимума,

причём min f(x) = f() = f() = -10, max f(x) = f(0) = 15.

 





Дата добавления: 2014-01-07; Просмотров: 1341; Нарушение авторских прав?;


Нам важно ваше мнение! Был ли полезен опубликованный материал? Да | Нет



ПОИСК ПО САЙТУ:


Читайте также:



studopedia.su - Студопедия (2013 - 2017) год. Не является автором материалов, а предоставляет студентам возможность бесплатного обучения и использования! Последнее добавление ip: 54.81.44.140
Генерация страницы за: 0.009 сек.