Теорема (о среднем значении)

Если функция непрерывна на отрезке [], то на этом отрезке существует точка такая, что

= (**)

Формула (**) называется формулой среднего значения.

Доказательство. Так как функция непрерывна на [], то по второй теореме Вейерштрасса, существует числа m и M такие, что

f(x) = m ≤ ≤ M = f(x).

Тогда по теореме об оценке определённого интеграла находим

m≤ ≤ M

и следовательно,

m ≤ ≤ M.

Положим = μ, (m ≤ μ ≤ M).

Так как μ заключено между наименьшим и наибольшим значениями непрерывной функции на [], то, учитывая вторую теорему Больцано-Коши, можем указать точку [] такую, что = μ.

Таким образом,

= .

Теорема доказана.

19.5. Определённый интеграл с переменным верхним пределом, его свойства. Формула Ньютона-Лейбница.

Рассмотрим функцию , интегрируемую на []. Если [], то функция f(x) интегрируема также на любом отрезке []. Предположим, что меняется на [], тогда на этом интеграле определена функция

Ф() = ,

Где ─ переменная интегрирования, ─ переменный верхний предел. Эту функцию называют определённым интегралом с переменным верхним пределом.

Свойство 1. Определённый интеграл с переменным верхним пределом является непрерывной на [] функцией.

Свойство 2. Если подинтегральная функция непрерывна, то производная определённого интеграла с переменным верхним пределом существует и равна значению подинтегральной функции для этого предела интегрирования, т.е.

= f(x).

Следствие. Определённый интеграл с переменным верхним пределом является одной из первообразных для непрерывной подинтегральной функцией, т.е. для любой непрерывной функции существует производная.

Связь между определённым и неопределённым интегралами выражает следующая теорема.

Теорема (о формуле Ньютона-Лейбница).

Пусть функция непрерывна на отрезке []. Тогда, если функция F(x) является некоторой её первообразной на этом отрезке, то справедлива следующая формула

= F() – F().

Эта формула называется формулой Ньютона-Лейбница.

Доказательство. Пусть Ф(х) является первообразной для функции на []. Пусть F(x) ─ некоторая постоянная. Подставим в последнее равенство .

Тогда

= F() + C,

т.е. О = F() + C, откуда С = − F().

Итак, для любого [] = F() – F().

Полагая , получим = F() – F().

Теорема доказана.

Разность F() – F() принято условно записывать в виде F(). Тогда формула Ньютона-Лейбница принимает вид

= F().

Эта формула не только устанавливает связь между определённым и неопределённым интегралами, но и даёт простой метод вычисления определённого интеграла.

Пример. = =.

Дата добавления: 2014-01-07