План лекции. Бать М.И., Джанелидзе Г.Ю., Кельзон А.С

Бать М.И., Джанелидзе Г.Ю., Кельзон А.С. Теоретическая механика в примерах и задачах. Ч.1 и 2. М., 1961 и последующие издания

Контрольные задания для СРС – самостоятельно ответить на следующие вопросы: 1) Груз весом лежит на горизонтальной плоскости, статический коэффициент трения груза о плоскость . Какая сила трения будет дей­ствовать на груз, когда к нему приложат горизонтальную силу Q, если: a) , б)? 2) Чем принципиально коэффициент трения качения отличается от коэффици­ента трения скольжения?

Лекция 5. Кинематика точки

Цель лекции – изложить кинематику точки.

1. Введение в кинематику

2. Основная задача кинематики. Кинематика точки

3. Способы задания движения точки

КРАТКОЕ СОДЕРЖАНИЕ ЛЕКЦИИ

Теоретическая механика определяется как наука о механическом движении. Тело движется, если оно с течением времени изменяет свое положение относительно некоторой системы отсчета. В этом определении подчеркивается, во-первых, относительность движения и, во-вторых, элемент времени; этим механическое движение отличается от простого перемещения, рассматриваемого в геометрии без учета времени.

Кинематика делится на кинематику точки и кинематику твердого тела. В кинематике время t принимается за независимую переменную, а все другие кинематические характеристики (перемещение, скорость, ускорение и т.п.) рассматриваются как функции времени.

Основной задачей кинематики является определение всех кинематических величин, характеризующих движение как отдельной точки, так и тела в целом. Эта задача может быть решена путем применения различных способов кинематического задания движения точки.

Векторный способ задания движения точки. Движение точки можно задать, если выразить ее радиус-вектор в некоторой системе отсчета в виде функции времени

.

Функция для определенности дальнейших рассуждений предполагается непрерывной, дважды дифференцируемой. Такое задание радиус-вектора точки предполагает наличие системы отсчета, но не конкретизирует ее. В данном случае траекторию точки можно определить как годограф ее радиус-вектора, т.е. геометрическое место концов радиус-вектора , изменяющегося во времени.

Скорость точки при векторном способе задания движения есть векторная величина, равная первой производной по времени от радиус-вектора точки; скорость всегда направлена по касательной к траектории в сторону движения точки, а ее численное значение определяется модулем . Единица измерения скорости в СИ – м/с.

Ускорение точки по своему физическому смыслу есть изменение скорости, и определяется как первая производная по времени от скорости точки или как вторая производная от радиус-вектора точки; численное значение ускорения определяется модулем .

Единица измерения ускорения в СИ – м/c2.

Координатный способ задания движения точки. Чтобы знать положение точки в пространстве в любой момент времени необходимо иметь уравнения движения точки в виде:

.

Эти выражения представляют собой уравнения движения точки в декартовой системе координат и одновременно являются уравнениями траектории точки, записанными в параметрической форме.

Чтобы найти уравнение траектории в форме непосредственной зависимости между координатами x,y,z, из уравнений движения необходимо исключить время.

В рассматриваемом случае скорость точки представляет собой сумму следующих векторов, параллельных осям декартовой системе координат:

, где , а ее численное значение (модуль) определится по формуле

Формула для расчета ускорения примет вид

, где ,

а численное значение ускорения будет равно модулю вектора :

Естественный способ задания движения точки. Если траектория точки известна, только тогда можно применить естественный способ задания движения точки. Для этого необходимо: зафиксировать на траектории точку начало отсчета, выбрать положительное и отрицательное направления движения, задать закон движения точки по траектории в виде

, где S- дуговая координата.

Всего этого в совокупности достаточно для однозначного определения положения точки в пространстве в любой момент времени.

Согласно определению скорости точки, учитывая определение единичного вектора , получим:

.

Отсюда следует, что проекция скорости точки на ось, касательную к траектории точки, равна

.

Эту производную иногда называют алгебраическим значением скорости точки.

Для ускорения точки имеем:

.

Проекции ускорения на оси естественной системы координат (касательную, нормаль и бинормаль) равны:

Очевидно, что и модуль ускорения

Характер движения точки по траектории можно определить исходя из знака произведения скорости и ускорения: в случае - движение точки ускоренное, в случае - движение точки замедленное . При движение точки равномерное , в этом случае при движении по криволинейной траектории и .

Дата добавления: 2014-01-07