Основные свойства абсолютно сходящихся рядов

Разграничение абсолютной и условной сходимости рядов является существенным: именно на абсолютно сходящиеся ряды в наиболее полной степени переносятся основные свойства конечных сумм (переместительное, сочетательное, распределительное).

Справедливы следующие утверждения:

1) Если ряд абсолютно сходится и имеет сумму S, то ряд, полученный из него перестановкой членов, также сходится и имеет ту же сумму S.

2) Абсолютно сходящиеся ряды с суммами и можно почленно складывать (вычитать). Полученные ряды будут сходящимися с суммами + (- ).

3) Произведение двух абсолютно сходящихся рядов с суммами и является абсолютно сходящимся рядом с суммой ·.

Действия над рядами можно производить, лишь убедившись в их абсолютной сходимости.

Замечание. Условно сходящиеся ряды, вообще говоря, этими свойствами не обладают. Например, если ряд сходится условно, то можно так переставить члены этого ряда, что его сумма будет равна любому наперед заданному числу А.

Так можно показать, например, что натуральный логарифм числа 2 равен нулю. Известно разложение в ряд для :

.

Сгруппируем отдельно положительные и отрицательные члены ряда:

.

Прибавляя и одновременно вычитая выражение, стоящее во второй скобке, получим

.

После умножения второй скобки на 2 получим

Более того, можно так переставить члены условно сходящегося ряда, что полученный ряд окажется расходящимся.

Объяснение этому факту кроется в различной природе абсолютной и условной сходимости рядов. Абсолютная сходимость основана на быстроте убывания членов ряда по абсолютной величине с ростом их номера и, следовательно, от порядка следования членов не зависит. Условная же сходимость осуществляется лишь благодаря взаимному «погашению» положительных и отрицательных членов и, следовательно, существенно зависит от порядка их следования.

Дата добавления: 2014-01-07