Общий достаточный признак сходимости знакопеременных рядов

Общий достаточный признак сходимости знакопеременных рядов позволяет утверждать, что из сходимости ряда следует сходимость самого знакопеременного ряда.

ТЕОРЕМА 3.1 ( общий достаточный признак сходимости знакопеременных рядов). Если ряд, составленный из абсолютных величин членов данного ряда, сходится, то сходится и данный знакопеременный ряд.

Ответьте на вопросы ВОПРОС № 2. Если условия теоремы 3.1 выполнены, то условно или абсолютно сходится знакопеременный ряд ?

ВОПРОС №3: почему сформулированный признак является лишь достаточным, но не является необходимым условием для сходимости знакопеременных рядов?

ВОПРОС №4: как, используя условие теоремы 5, установить сходимость (абсолютную сходимость) знакопеременного ряда?

Достаточный признак сходимости знакочередующихся рядов (признак Лейбница)

Знакочередующиеся ряды являются частным случаем знакопеременных рядов.

Определение 3.4Знакочередующимися называются ряды, у которых положительные и отрицательные члены следуют друг за другом поочередно.

(3.3)

Для знакочередующихся рядов имеет место достаточный признак сходимости(признак Лейбница).

ТЕОРЕМА 3.2 (признак Лейбница). Знакочередующийся ряд сходится, если

1. члены ряда убывают по абсолютной величине, т.е. ;

2. общий член ряда стремится к нулю при неограниченном возрастании номера n, т.е. .

При этом сумма ряда имеет тот же знак, что и первый член, и меньше его по абсолютной величине; остаток ряда имеет тот же знак, что и первый из отбрасываемых членов, и меньше его по абсолютной величине.

.	(3.4)
Ответьте на вопрос ВОПРОС №5: как, используя условие теоремы 6, установить сходимость (абсолютную или условную) знакочередующегося ряда?

Теорема 3.2 позволяет в случаях, когда она применима, установить не только сходимость ряда, но и оценить погрешность , допускаемую при замене суммы ряда S его частичной суммой S_n.

Замечание. Признак Лейбница применим не ко всем знакочередующимся рядам. Например, к рядам, для которых требование убывания членов ряда по абсолютной величине не выполняется, признак Лейбница неприменим. Так признак Лейбница неприменим к знакочередующемуся ряду

.

Чтобы показать это, достаточно, сгруппировав члены ряда по два, не меняя порядка их следования, получить положительный ряд и показать, что он расходится.

Задание №1

Установите, какие из данных знакочередующихся рядов сходятся абсолютно, какие условно, какие расходятся:

а);	б);
в);	г).

Задание №2

Оцените ошибку, допускаемую при замене суммы ряда суммой его первых п членов. Найдите приближенно с точностью до 0,01 сумму этого ряда.

Дата добавления: 2014-01-07