Определение 1. Множество в линейном пространстве называется выпуклым, если всякий раз из того, что , следует, что принадлежит отрезок, соединяющий и

Выпуклые множества в линейных пространствах

Пусть — линейное пространство. Отрезком, соединяющим точки , называется совокупность всех точек вида

Упражнение 1. Покажите, что всякое линейное многообразие в является выпуклым множеством.

Упражнение 2. Пусть — выпуклое множество, а . Покажите, что множество — выпуклое. Отсюда, в частности, вытекает выпуклость аффинных многообразий.

Введем теперь понятие выпуклого функционала, Пусть на линейном пространстве задана функция, ставящая каждому в соответствие число . В этом случае говорят, что на задан функционал . Если все значения вещественны, то функционал называется вещественным функ­ционалом.

Определение 2. Вещественный функционал называется выпуклым, если для любых и любых

С помощью выпуклых функционалов можно строить выпуклые множества. Фиксируем элемент и вещественное число .

Рассмотрим следующее множество:

Покажем, что выпукло. Действительно, пусть , т. е. и ; тогда для всех

Следовательно, вместе с и содержит соединяющий их отрезок, т. е. выпукло.

Упражнение 3. Пусть —выпуклый функционал, — вектор, — вещественное число. Докажите выпуклость множества

Упражнение 4. Покажите, что пересечение произвольного числа выпуклых множеств является выпуклым множеством.

Дата добавления: 2014-01-07