Комплексификация и декомплексификация

Пусть — вещественное линейное пространство. Покажем, что можно включить в некоторое комплексное линейное пространство Рассмотрим всевозможные формальные суммы , где , а — мнимая единица. Если, кроме того, , то определим

(и — вещественные скаляры).

Множество формальных сумм теперь, как нетрудно видеть, превратилось в комплексное линейное пространство, которое обычно называют комплексной оболочкой и которое мы обозначим через . Наше исходное пространство включается в , ибо все элементы из вида с умножением на скаляры составляют . Такое включение вещественного линейного пространства в комплексное линейное пространство называется комплексификацией пространства .

Декомплексификация есть процедура, обратная (в определенном смысле) комплексификации. Пусть — комплексное линейное пространство. Каждый его вектор запишем в виде , где и — вещественные элементы . Рассмотрим вещественное линейное пространство пар , в котором по определению ( — вещественный скаляр)

Упражнение 1. Проверьте для аксиомы линейного пространства.

Упражнение 2. Пусть — -мерное комплексное линейное пространство. Тогда — -мерное вещественное линейное пространство.

Переход от к и называется декомплексификацией комплексного линейного пространства .

Комплексификация и декомплексификация применяются тогда, когда хотят воспользоваться результатами, полученными для одного из случаев — комплексного или вещественного,— в другом случае.

Дата добавления: 2014-01-07