Основные определения. Количеством кооперирующихся между собой предприятий

Количеством кооперирующихся между собой предприятий.

Оптимизация, как выбор наилучшего варианта среди некоторого множества, подразумевает наличие правила предпочтения одного варианта другому. Такое правило называют критерием оптимальности.

Будем рассматривать объекты, имеющие неизменную структуру и различающиеся численными значениями параметров внутренних X = (х₁,..., х_n) и выходных Y = (у₁ y₃,..., у_n). В основе постро­ения правила предпочтения лежит целевая функция, коли­чественно выражающая качество объекта и потому называемая также функцией качества. Значения целевой функции тем боль­ше, чем выше качество объекта. Применяют также функции, убываю­щие с улучшением качества. Оптимизация в первом случае есть макси­мизация, а во втором — минимизация функции качества. Аргумен­тами этой функции являются управляемые параметры — внутренние параметры, которые можно изменять на данном этапе про­ектирования. Обозначим вектор управ­ляемых параметров - X*.

Обозначим целевую функцию через F(Х), а область ее определе­ния — через ХО. Если ХО есть дискретное множество точек, то объ­ект дискретный и задача оптимизации относится к области дискрет­ного (в частном случае целочисленного) программирования, в про­тивном случае должна применяться параметрическая оптимизация непрерывных объектов.

Безусловные экстремумы. ε-Окрестностью некоторой точки Х₀ будем называть множество Sε (X) точек (векторов), которые находятся от точки Х₀ на расстоянии, не превышающем заданное число ε > 0:

S_ε (X₀) = {X| ||Х-Х0[|£ε }, (1)

где ||Х — Х0||- норма вектора X — Х₀, отождествляемая с рас­стоянием между точками X и Х₀.

Выражение множеств в виде (1) будем использовать и в даль­нейшем, поэтому запишем словесную расшифровку (1) еще раз: множество S_ε (X₀) есть множество объектов X при выполнении усло­вия ||Х —Х₀|| < ε.

Максимумом функции F(X) называют ее значение F(X*), если существует число ε > 0 такое, что для любой точки X Î S_ε (X*) (за исключением лишь самой точки X* выполняется неравенство

F(X)-F(X*)<0. (2)

Минимумом функции F(X) называют ее значение F(Х*), если при тех же условиях вместо (2) имеем F(X) — F(X*)> 0.

Точку X* называют экстремальной точкой (локальным экстремумом). Функция F(X) одноэкстремальна (унимодальна), если имеет один экстремум, и многоэкстремальна, если имеет более одного максимума (минимума).

В зависимости от характера целевых функций (многоэкстремаль­ные или одноэкстремальиые) различают одно- и многоэкстремальные задачи оптимизации.

Точка глобального экстремума — точка, в ко­торой максимизируемая (минимизируемая) целевая функция имеет наибольшее (наименьшее) значение среди всех локальных экстрему­мов.

К задачам безусловной оптимизации отно­сятся задачи, в которых экстремум ищется в пределах неограничен­ного пространства управляемых параметров, т. е. задачи, в которых отсутствуют ограничения. Найденные при этом экстремумы называ­ются безусловными экстремумами.

Условные экстремумы. В задачах проектирования, как правило, присутствуют те или иные ограничения. Прежде всего, отметим прямые ограничения — ограничения вида

x_i>xн_i и x_ti<xb_i, (3)

где xн_i и xb_t — минимально и максимально возможные значения i -го управляемого параметра.

Прямые ограничения в ряде случаев принципиально необходимы. Типичными примерами могут служить ограничения вида x_i>0 для всех параметров, которые по физическим соображениям не могут быть отрицательными. Это геометрические размеры, массы, концент­рации примесей, электрические сопротивления и т. п. Во многих случаях, когда прямое ограничение не является принципиально не­обходимым, его вводят специально для того, чтобы ограничить об­ласть поиска экстремума. Область ХД в пространстве управляемых параметров, заданную прямыми ограничениями, называют допу­стимой областью

где n — размерность пространства управляемых параметров: [1: п ]— множество целых чисел в интервале [1, n].

Кроме прямых ограничений в задачах оптимизации часто при­сутствуют функциональные ограничения, имею­щие вид неравенств или равенств.

Ограничения-неравенства имеют вид

j(Х)>0, (4)

где j (Х) — вектор-функция.

Прямые ограничения можно рассматривать как частный случай функциональных ограничений (4).

Ограничения-равенства имеют вид

ψ (X) = О, (5)

где ψ (X) — вектор-функция.

Наличие ограничений приводит к задаче условной опти­мизации. Решение этой задачи — условный экстремум.

В задачах проектирования часто роль ограничений (4) и (5) выполняют условия работоспособности, тогда область ХР, определяе­мую как

называют областью работоспособности.

Дата добавления: 2014-01-07