Пример 1. Дифференциальная функция распределения (плотность распределения)

Дифференциальная функция распределения (плотность распределения).

Непрерывные случайные величины

Решение.

Пример 1.

Пример.

Свойства дисперсии

Дисперсия дискретных случайных величин

Пример 2.

Пример 1.

Найти математическое ожидание случайной величины Z = X + 2Y, если известны математические ожидания случайных величин X и Y M(X) = 5, M(Y) = 3.

Независимые случайные величины заданы законами распределения:

Х
Р	0,2		0,6

Y	0,5
Р	0,4	0,1

Найти математическое ожидание М(YХ).

Определение. Дисперсией случайной величины называют математическое ожидание квадрата отклонения случайной величины от ее математического ожидания:

= D(X) = M(

Величина x – M(X) называется отклонением случайной величины от ее математического ожидания.

1. Дисперсия постоянной величины С равна нулю.

2. Постоянный множитель можно выносить за знак дисперсии, возведя его в квадрат

D(CX) =.

3. Дисперсия суммы двух независимых случайных величин равна сумме дисперсий этих величин

D(X+Y) = D(X) + D(Y).

4. Дисперсия разности двух независимых случайных величин равна

сумме дисперсий этих величин

D(X-Y) = D(X) + D(Y).

Дисперсия случайной величины Х равна 3. Найти дисперсию следующих величин: а) -3Х, б) 4Х + 3.

Средним квадратическим отклонением случайной величины называется корень квадратный из ее дисперсии:

,.

Случайная величина – число очков, выпавших при однократном бросании игральной кости. Определить.

Имеем

;

.

.

Для непрерывной случайной величины, в отличие от дискретной, нельзя построить ряд распределения. Поэтому непрерывную случайную величину изучают другим способом.

Пусть Х - непрерывная случайная величина с возможными значениями из (а,в). Тогда для нее существует функция распределения

F(х) = P(х <x).

Свойства функции распределения:

1. 0 ≤ F(х) ≤ 1;

2. F(х) - неубывающая функция;

3. P(a ≤ x < в) = F(a) – F(в);

4. Вероятность того, что непрерывная случайная величина Х примет какое-либо заранее заданное значение, рана нулю.

5. Вероятности попадания непрерывной случайной величины в интервал, сегмент, полуинтервал с одними и теми же концами одинаковы

P(a ≤ x <b) = P(a < x ≤ b) = P(a ≤ x ≤ b) =P(a < x ≤ b).

6. Если возможные значения случайной величины Х принадлежат интервалу (а,d), то

1. F(х) = 0 при х ≤ a;

2. F(х) =1 при х ≤ d;

3.

Определение. Плотностью распределения f(x) (или дифференциальной функцией распределения) непрерывной случайной величины называется

первая производная от ее функция распределения

.

Свойства плотности распределения:

1) f(x)≥ 0;

2) f(-∞)= f(-∞) = 0;

3) f(x) – кусочно непрерывная функция;

4) F(х) =

5) P(;

6).

Вероятность попадания случайной величины на участок от до выражается формулой

,

.

Возможно ли, что при некотором значении аргумента:

1. Функция распределения больше 1?

2. Плотность распределения больше 1?

3. Функция распределения отрицательной?

4. Плотность распределения отрицательной?

Дата добавления: 2014-01-07