Способы необходимой сходимости метода Монте-Карло

- методы сходимости или уменьшения дисперсии результата при том же объеме испытаний.

Рассмотрим на примере вычисление определенного интеграла.

Рассмотрим метод существенной выборки. Практическое применение для вычисления интегралов находит способ, основанный на среднем значении функции случайной величины.

Из теории вероятности известно, что функция R(x) случайной величины X, заданной плотностью распределения f(x), имеет среднее значение:

, (1)

(a, b) – интервал возможных значений x.

С другой стороны, из математической статистики известно, что при большом объеме выборки N математическое ожидание достаточно точно представляется в виде:

(2).

Этот факт положен в основу одного из ускоренных способов вычисления интеграла.

Пусть необходимо найти интеграл функции y(x) на интервале (a, b), т.е. Введем в рассмотрение случайную величину X, заданную на том же интервале плотность f(x). Тогда искомый интеграл можно представить:

(3)

где

Из сравнения (1) и (3) следует, что задача вычисления интеграла I сводится к нахождению математического ожидания функции y^*(x) случайного аргумента X, которое в соответствии с (2):

В качестве закона f(x) можноиспользовать любой.В простейшем случае это равномерный закон.

В этом случае (3) принимает вид:

При этом I заменяется величиной где вычисляется по формуле (2), а x_i = (a, b) – равномерно распределенные числа.

Для выявления оптимальной с точки зрения сходимости f(x) рассмотрим дисперсию получаемого результата I^* для f(x) общего вида. По определению:

(4).

Воспользуемся неравенством Каши – Буняковского:

(5).

Подставим .

Тогда (5) приводится к виду: .

С учетом свойства нормировки плотности, т.е., получаем:

.

Используя (4) и последнее соотношение, получаем: .

Пусть (6), тогда

Учитывая, что , получаем: .

Следовательно, при выборке плотности f(x) в соответствии с (6) дисперсия достигает своего минимального значения:

.

В случае заведомо положительным y(x): D(I^*)_min=0.

Полученный результат имеет достаточно простое толкование. Действительно, при y(x)>0 y^*(x)=1, что дает также постоянное значение y(x_i) для любого отсчета x_i, а, следовательно, дисперсия D(I^*)_min=0.

Однако достигнуть этого минимального (даже не нулевого) для y(x) общего вида теоретического предела дисперсии (и минимальной выборки N=1) практически не удается. Дело в том, что для выбора наилучшего f(x) необходимо знать величину интеграла , что не проще решаемой задачи определения I, тем не менее, даже при некотором приближении к (6) удается получить существенный выигрыш в скорости сходимости вычислительного алгоритма.

Название «существенная» выборка данного способа ускорения отражает тот факт, что при выборе f(x) ~ |f(x)| наибольшее число отсчетов y(x_i) приходится на существенный диапазон, т.е. в окрестность максимума интегрируемой функции y(x).

Дата добавления: 2014-01-07