Определение количеств реализаций при моделировании случайных величин

Число испытаний N определяет точность полученных результатов моделирования. Если необходимо оценить величину параметра a по результатам моделирования x_i, то за оценку следует брать величину , которая выступает в функции от x_i. Из-за случайности будет отличаться от a, т.е.

(1), где e - точность оценки.

Вероятность того, что данное неравенство выполняется, обозначим через a:

(2).

Для определения точности результатов имитационных испытаний необходимо воспользоваться выражением (2).

Определим количество реализаций для оценки вероятности наступления события. Пусть целью моделирования будет определение вероятности наступления некоторого события А, определяющего состояние моделируемой системы. В любой из N реализаций процесс наступления события А является случайной величиной, которая может приобретать значение x₁=1 с вероятностью p, x₂=0 с вероятностью (1-p).

Тогда всегда можно найти мат. ожидание М и дисперсию D:

В качестве оценки р используют частоту наступления события А – эта оценка несмещенная, состоятельная и эффективная. Несмещенная оценка – если мат. ожидание оценки равно мат. ожиданию величины.

При условии, что N заведомо задано, достаточно накапливать m:

где x_i – наступление события А в реализации, x_i ={1; 0}.

По формулам (3)-(5) находим:

В соответствии с центральной предельной теоремой случайная величина будет иметь распределение, близкое к нормальному.

Поэтому для каждой достоверности a (ее мы берем сами) из таблиц нормального распределения можно найти величину t₂ такую, что e будет равняться величине

(6),

так при a=95% = 0,95 Þ t₂ = 1,96; при a= 0,97 Þ t₂ = 3.

Подставим в выражение (6) выражение дисперсии, получим:

(7).

Отсюда находим (8).

Поскольку p заранее неизвестно, прибегают к пробным испытаниям N=50 – 100, получают частоту m/N и подставляют ее значение в выражение (8) вместо p, после чего определяется конечное количество испытаний.

Затравочный эксперимент (приближенно).

Определим количество реализаций для оценки среднего значения случайной величины.

Пусть случайная величина имеет мат. ожидание a и дисперсию s², в реализации с номером x_i для оценки мат. ожидания a используем среднее

(9).

В соответствии с интервальной предельной теоремой при больших значениях N среднее арифметическое будет нормально распределено с мат. ожиданием a и дисперсией , тогда , получаем:

(10).

Поскольку дисперсия оцениваемой случайной величины неизвестна, необходимо провести 50-100 испытаний и оценить s², а затем полученное значение подставить в формулу (10) и определить необходимое количество реализаций N.

Дата добавления: 2014-01-07