Поскольку в понятие устойчивости системы входит только факт наличия или отсутствия переходного процесса, то устойчивость определяется только характеристическим уравнением системы

Корни характеристического уравнения могут быть: вещественными; мнимыми и комплексно-сопряженными. Эти корни изображаются в виде точек на комплексной плоскости корней, что отражено на рис. 4.1.

Рис. 4.1. Комплексная плоскость корней

Необходимым и достаточным условием устойчивости системы по Ляпунову является условие, при котором все вещественные корни характеристического уравнения являются отрицательными, а комплексно-сопряженные корни имеют отрицательную вещественную часть. Система находится на границе устойчивости, если имеется нулевой или бесконечный корни, или пара чисто мнимых корней.

Таким образом, для устойчивости системы необходимо и достаточно, чтобы все корни характеристического уравнения лежали слева от мнимой оси плоскости корней, которая является границей устойчивости в плоскости корней.

Нахождение корней характеристического уравнения является весьма трудной задачей, т.к. отыскание корней алгебраических уравнений высокой степени возможно только с применением громоздких численных методов. Поэтому на практике для исследования устойчивости систем широко используются критерии устойчивости.

Дата добавления: 2014-01-07