Уравнение колебаний для математического маятника можно вывести, используя уравнение динамики вращательного движения

Проведем ось Z через точку подвеса перпендикулярно плоскости колебаний маятника, тогда момент инерции материальной точки относительно оси Z , момент импульса точки направлен вдоль оси Z, а момент силы тяжести (плечо d силы тяжести относительно оси Z: ) направлен против оси Z.

Закон динамики вращательного движения точки относительно оси Z: или .§

Пример. Найдем период колебаний физического маятника - тела массы m, которое может совершать колебания под действием силы тяжести (инерции) вокруг горизонтальной оси, не проходящей через центр масс тела. Сопротивлением воздуха пренебрегаем.

Решение. Проведем из центра масс тела C перпендикуляр к оси вращения z. Пусть длина этого перпендикуляра равна l.

Положение тела зададим углом отклонения j от вертикали этого перпендикуляра.

При этом, если угол j увеличивается (тело поворачивается против часовой стрелки), то вектор момента импульса направлен вдоль горизонтальной оси z «на нас», а вектор момента внешней силы тяжести направлен вдоль горизонтальной оси z «от нас». Рассмотрим проекции этих векторов на ось Z: , .

Запишем уравнение моментов в проекциях на ось Z: или . Если выполняется условие малости колебаний: , то уравнение колебаний примет вид

.

С учетом выражения для циклической частоты получаем выражение для периода колебаний физического маятника .

Приведенной длиной физического маятника называется длина математического маятника с таким же периодом.

, , .§

Замечание. Как показано в последних двух примерах, уравнения колебаний можно получить, вводя обобщенную координату - угол и обобщенную квазиупругую силу – момент силы тяжести.

Дата добавления: 2014-01-15