Теорема (Гаусс). Якщо многочлен з цілими коефіцієнтами можна розкласти на множники з раціональними коефіцієнтами, то його можна розкласти на множники з цілими коефіцієнтами

Наслідок 1. Якщо алгебраїчне рівняння з цілими коефіцієнтами

має раціональний корінь, то він є дільником .

Наслідок 2. Якщо алгебраїчне рівняння з цілими коефіцієнтами

має раціональний корінь , то р — дільник , q — дільник .

4.8. Розклад многочлена на множники

Розглянемо деякі способи розкладання многочлена на множники.

Розклад на множники
за допомогою групування

Члени многочлена групуються так, щоб вони мали спільний множник, який виноситься за дужки.

Приклад. Розв’язати рівняння

.

Ø Групуємо два перші та два останні члени:

,

а далі виносимо за дужки спільний множник :

, .

Приклад. Розглянемо рівняння

.

Ø Віднімемо і додамо , а число 20 розіб’ємо на два доданки 16 і 4:

Рівняння розпадається на два рівняння:

.

Використання
формул скороченого множення

Приклад. Розв’язати рівняння

.

Ø Подамо ліву частину рівняння у вигляді добутку:

.

Рівняння розпадається на два рівняння:

,

, .

Приклад. Розв’язати рівняння

.

Ø Розкладемо ліву і праву частини рівняння на множники:

Дістанемо рівняння

,

яке розпадається на два рівняння:

, ,

, .

Виділення повного квадрата
або куба двочлена

Приклад. Розв’язати рівняння

.

Ø Виділимо повні квадрати:

,

, .

Остаточно маємо:

, ;

, .

Приклад. Розв’язати рівняння

.

Ø Виділимо повний куб двочлена:

, , . ×

У разі виділення повного куба деякі кубічні рівняння можна перетворити до вигляду

, або .

Далі з розкладів

,

знаходимо за формулою:

. (1)

Приклад. Розв’язати рівняння

.

Ø Знайдемо згідно з формулою (1):

.

Далі, скориставшись розкладом

,

запишемо рівняння у вигляді

, ,

, .

Приклад. Розв’язати рівняння

.

Ø Знайдемо згідно з формулою (1):

.

Подавши початкове рівняння у вигляді

,

помноживши його на 9 і скориставшись розкладом куба суми

,

дістанемо:

, ,

, .

Приклад. Розв’язати рівняння

.

Ø Знайдемо згідно з формулою (*):

.

Скориставшись розкладом

,

перепишемо початкове рівняння у вигляді:

, ;

, .

Приклад. Поділимо многочлен

на двочлен :

Це ділення можна виконати за схемою Горнера:

		– 1		– 4
х = 2		2 × 2 – 1 = 3	2 × 3 + 1 = 7	2 × 7 – 4 = 10	2 × 10 + 6 = 26

Коефіцієнти частки та остачу від ділення, що дорівнює 26, знаходимо за схемою Горнера.

Приклад. Розв’язати рівняння

.

Ø Раціональні корені рівняння можуть бути лише дільниками числа 6: . За схемою Горнера знаходимо:

		– 4
х = – 1		– 5
х = 2		– 3
х = 3

Отже, . Якщо корінь вибрано невдало, то останнє число в рядку не дорівнюватиме нулю.

Приклад. Розв’язати рівняння

.

Ø Раціональні корені шукаємо з-поміж дільників числа 9: ; ; . За схемою Горнера маємо

		– 2	– 18	– 6
х = 1		– 1	– 19	– 25	– 16
х = – 1		– 3	– 15
х = 3			– 15	– 36
х = – 3		– 6

Зі схеми випливає, що значення , не задовольняють рівняння, а коренями будуть , . Часткою від ділення даного многочлена на буде многочлен . Рівняння має корені .

Застосування теореми Гаусса

Якщо многочлен не має раціональних коренів, то схема Горнера не прийнятна, оскільки не можна вгадати ірраціональні корені.

У такому разі потрібно спробувати розкласти многочлен з цілими коефіцієнтами на квадратні множники з цілими коефіцієнтами.

Приклад. Розв’язати рівняння

.

Ø Це рівняння не має раціональних коренів.

Спробуємо розкласти даний многочлен на два квадратні множ­ники з цілими коефіцієнтами:

.

Розкриваючи дужки і зрівнюючи коефіцієнти при однакових степенях , дістаємо систему рівнянь:

,

де — цілі числа. З останнього рівняння знаходимо, що можливі такі випадки:

1) ; 2) ; 3) ; 4) ; 5) ; 6) ; 7) ; 8) .

Оскільки квадратичні множники перестановочні, то випадки 1—4 повторюють випадки 5—8. Тому розглядатимемо лише випадки 1—4.

1. . Із системи рівнянь

знаходимо .

Оскільки не є цілим числом, то розкладання на квадратичні множники з цілими коефіцієнтами неможливе.

2. . З системи рівнянь

знаходимо .

Значення не є цілим числом.

3. . Із системи рівнянь

знаходимо .

Значення не є цілим числом.

4. . Із системи рівнянь

знаходимо .

Перевіряємо, чи виконується рівність : . Отже, маємо розклад на множники:

.

Розв’язуємо відповідні квадратні рівняння:

, ,

, . ×

Корені щойно розглянутого рівняння — ірраціональні числа. Проте викладений спосіб розкладання на множники можна застосовувати й у разі, коли рівняння має раціональні корені.

Приклад. Розв’язати рівняння

.

Ø Шукаємо розклад лівої частини рівняння на квадратні множники у вигляді:

.

Приходимо до системи рівнянь із цілими коефіцієнтами :

.

Узявши , дістанемо систему рівнянь

звідки знайдемо

Отже, маємо шуканий розклад на множники:

.

Остаточно маємо:

, ,

, .

4.9. Рівняння, що зводяться до квадратних рівнянь

Розглянемо типи рівнянь, які зводяться до квадратних.

Двочленні рівняння

Двочленними рівняннями називають рівняння виду

, .

Розв’язок рівнянь складається в розкладанні рівняння на множ­ники.

Приклад. Розв’язати рівняння

.

Ø Розкладаючи ліву частину рівняння на множники, дістаємо:

, , .

Тричленні рівняння

Тричленними рівняннями називають рівняння виду

, .

Заміною зводимо тричленне рівняння до квадратного.

Приклад. Розв’язати рівняння .

Ø Виконавши заміну , дістанемо , звідки , , , , .

При тричленне рівняння називають біквадратним.

Приклад. Розв’язати рівняння.

Ø , , , , , , .

Заміна змінної в рівнянні

Приклад. Розв’язати рівняння

.

Ø Виконавши заміну , дістанемо

,

звідки випливає квадратне рівняння , .

Повертаючись до попередніх позначень дістаємо:

якщо , то ; якщо , .

Попереднє перетворення рівнянь

Дата добавления: 2014-01-11