Метод аналитической аппроксимации

Воспользуемся в качестве исходного нелинейным диф­ференциальным уравнением (13.1). Предположим, что харак­теристика u=f(i) может быть аппроксимирована зависи­мостью или i= au². Дифференциальное уравнение примет вид:

или

откуда, после разделения переменных

Полученная функция t(i) не может быть представлена как явная функция i(t). Для получения графика i(t) необходимо задаться несколькими значениями i и опреде­лить соответствующие значения t₂.

Ток i=I=aE² является установившимся тоном: i®I при t®∞.

Если характеристику u=f(i) аппроксимировать зави­симостью u=ai², то дифференциальное уравнение при­обретает вид:

.

После разделения переменных

, (13.4)

откуда

.

В данном случае при t®∞ имеем i®, где I - установившийся ток.

Если в цепи вместо катушки индуктивности L включен конденсатор С и характеристика u=f(i) аппроксими­руется зависимостью u=ai², уравнение примет вид:

.

Дифференцируя обе части, получаем:

, или ,

откуда

-t/2aC=i+A.

Постоянная интегрирования А найдется из условия, что при t=0 получим ai²=E, т. е. .

Следовательно,

,

Итак,

,

т. е. ток будет линейно убывать до нуля и переходный процесс закончится при .

В этот момент напряжение на конденсаторе достигает значения Е.

В отличие от большинства случаев, когда переходный процесс теоретически длится бесконечно, здесь переходный процесс оказался ограниченным во времени.

В рассмотренных выше примерах нелинейные диффе­ренциальные уравнения интегрировались непосредственно. К сожалению, на практике чаще встречаются нелинейные дифференциальные уравнения, для которых точное анали­тическое решение отсутствует.

Дата добавления: 2014-01-15