Электрическое поле линейного заряда

Пусть проводник, длиной l, несет заряд q с линейной плотностью , значение которой в каждой точке задано (см. рис. 2.4).

Выделим на проводнике бесконечно малый отрезок . Элементарный заряд можно рассматривать как точечный, а значит, согласно (2.4), напряжённость поля в точке наблюдения

, (2.10)

где R – расстояние от элементарного заряда до точки наблюдения. Напряжённость поля, созданная всем заряженным проводником,

. (2.11)

Интегрирование ведется по всей длине проводника, где отлична от нуля.

Если электрическое поле создается линейным, поверхностным, объемным и точечным зарядами, то для определения напряженности поля, созданного этой системой зарядов, применяется принцип наложения (суперпозиции)

.

2.8. Линии вектора напряжённости („силовые" линии).

Из изложенного выше следует, что в любой точке электрического поля, образованного произвольным распределением зарядов, может быть определён вектор напряжённости электрического поля .

Для графического изображения и наглядного представления электрического поля введено понятие линии вектора напряжённости („силовой" линии).

Силовая линия — это мысленно проведенная в поле линия, начинающаяся на положительно заряженном теле и заканчивающаяся на отрицательно заряженном теле. Проводится она таким образом, что касательная к ней в любой ее точке дает направление напряженности поля в этой точке. силовые линии имеют начало (на положительно заряженном теле) и конец (на отрицательно заряженном теле). Так как положительный и отрицательный заряды, создающие поле, не могут быть в одной и той же точке, то силовые линии электростатического поля не могут быть линиями, замкнутыми сами на себя.

Так как в каждой точке поля вектор имеет вполне определенное направление (за исключением точек, где равно нулю), то через каждую точку поля можно провести только одну линию вектора .

Дифференциальное уравнение „силовых" линий:

(2.12)

Решение дифференциального уравнения (2.12) представляет собой уравнение линии вектора .

На рис. 2.5 с помощью силовых линий (сплошные линии) показано поле разноименных зарядов.

2.9. Поток вектора .

В электрическом поле выделим бесконечно малый элемент площадки и восстановим в какую-либо сторону единичный, нормальный к этому элементу, вектор (рис. 2.6). Элементарный поток вектора сквозь площадку dS есть величина скалярная, равная

,

где - вектор, длина которого численно равна площади элемента поверхности dS, а направление совпадает с направлением единичного вектора .

В зависимости от угла между и поток вектора может иметь тот или иной знак (если угол острый, то знак потока положительный, если тупой — отрицательный). Обычно направление единичного вектора связывают с обходом элемента площадки dS по правовинтовой системе.

Поток вектора сквозь поверхность S равен

. (2.13)

При говорят про исток вектора , а при - про сток вектора.

Если поверхность замкнута, то поток вектора сквозь замкнутую поверхность определится

. (2.14)

При этом условно будем считать положительной внешнюю нормаль к замкнутой поверхности.

Если поверхность, сквозь которую определяют поток вектора, замкнутая, то на знаке интеграла ставят кружок.

В теории поля проявляют интерес не только к наличию потоку вектора, а и к тому, в какой точке находится источник вектора. Для определения источника поля в каждой точке пространства вводят понятие дивергенции вектора.

2.10. Дивергенция вектора .

Для описания векторного поля введена скалярная величина, которая называется дивергенцией или расходимостью вектора. Нахождение дивергенции является операцией дифференцирования векторной величины по координатным направлениям.

Пусть некоторый объем V находится в поле вектора . Разобьем поверхность, которая ограничивает объем, на бесконечно малые элементы dS (рис. 2.7).

Будем считать внешнюю нормаль, проведенную к поверхности объема, положительной. Тогда вектор будет направлен наружу. Поток вектора сквозь поверхность, которая ограничивает объем, равен

.

Предел, к которому стремится отношение полного потока вектора через замкнутую поверхность к величине ограничиваемого ею объема при бесконечном уменьшении последнего, называется дивергенцией или расходимостью вектора.

Дивергенция — скалярная величина; она положительна, если линии поля начинаются в бесконечно малом объеме, и отрицательна, если линии поля заканчиваются в этом объеме.

Поля, в которых полный поток вектора через любую замкнутую поверхность равен нулю, называются бездивергентными.

Определение дивергенции вектора можно выразить математически

. (2.15)

Дивергенция вектора в прямоугольных координатах

, (2.16)

где - составляющие вектора по координатным осям.

Дивергенция вектора в точке, в которой отсутствует заряд, равна нулю.

Дивергенция вектора во всех точках пространства электрического поля равна нулю, если в данном пространстве отсутствуют заряды.

Если электрическое поле создано положительным зарядом, то внутри области, в которой находится заряд, будет исток поля вектора , если отрицательным, то - сток. Если внутри области нет зарядов, то нет ни истоков, ни стоков поля, а значит, (рис. 2.8). Следовательно, дивергенция характеризует векторное поле в каждой его точке с точки зрения наличия истоков или стоков поля.

2.11. Дифференциальный оператор «набла».

Вычисление дивергенции представляет собой операцию сложного дифференцирования векторной величины покоординатам. Для обозначения этой операции вводят символ (набла)

(2.17)

где — единичные векторы по соответствующим координатам.

Выражение дивергенции можно рассматривать, как скалярное произведение вектора и вектора

.

Следовательно, в прямоугольной системе координат

. (2.18)

Применение оператора к скалярной функции дает другой дифференциальный оператор – градиент

.

Физически градиент определяет скорость изменения функции в направлении ее максимального роста.

Дата добавления: 2014-01-15