Уравнение плоскости в отрезках

Неполные уравнения плоскости

Общее уравнение плоскости

Векторное уравнение плоскости

Уравнение пучка прямых

Решение.

B h = АК. Высоту найдём, как расстояние от точки A

K до прямой ВС. Уравнение ВС: = или x -5y+ 7 = 0.

h = =. Ответ. h =.

Пример 2. Составить уравнения биссектрис углов между прямыми 3x-4y-2=0 и 5x +12y – 1= 0.

Решение.. M(

,,,

приравняем, получим

=; 14x-112y-21=0 и

64x + 8y – 21=0.

В общем виде уравнения биссектрис углов между прямыми запишутся так:

Определение. Совокупность прямых, лежащих в плоскости и проходящих через одну точку называется пучком прямых с центром в этой точке.

Пучок прямых можно задать уравнением с угловым коэффициентом: y- =k(x-, а можно с помощью двух прямых: и

. уравнение пучка прямых.

Пример. Написать уравнение прямой, проходящей через точку М пересечения прямых 5x – y + 10 = 0 и 8x + 4y + 9 = 0 и параллельно прямой x + 3y = 0.

Решение. Запишем уравнение пучка 5x – y+ 10 + 8x + 4y + 9) = 0.

,. Векторы параллельны, в координатах отсюда 15 + 24 - 4 + 1 =0 или 20 = =

(5 x – (.

РАЗЛИЧНЫЕ ВИДЫ УРАВНЕНИЯ ПЛОСКОСТИ В

_z

. ⊥ → (Из рисунка

M видно, поэтому

^{0 y} векторное урав-

-ние плоскости.

^x

z Уравнение плоскости, проходящей через данную точку.

. M

₀. y; M((x, y, z); { A,B,C} ⊥ → В координатах:

→ уравнение плоскости через

точку или уравнение связки плоскостей.

Раскроем скобки в последнем уравнении Аx+By+Cz – (A

Выражение в скобках обозначим через D, получим:

общее уравнение плоскости.

В общем уравнении полагаем:

1). D = 0 Ax + By + Cz = 0, плоскость проходит через начало координат.

z

x ⁰ y

2). A = 0 By + Cz + D = 0, плоскость параллельна оси ox.

_z

_{o y}

_x

A =D =0 By +Cz =0, плоскость проходит через ось ox.

z

^o y z

x

3). В = 0 Аx +Cz +D = 0, плоскость параллельна оси оy. o y

40 x

B =D = 0 Ax + Cz = 0, плоскость проходит через ось оy.

z

o y

x

4). C = 0 Ax + By + D = 0, плоскость параллельна оси oz.

z

x o y

C = D =0 Ax + By = 0, плоскость проходит через ось oz.

z

o y

x

5). А = В =0 Сz + D = 0, плоскость параллельна координатной плоскости XOY.

z

o y

x

6). A =C = 0 By + D = 0, плоскость параллельна координатной плоскости XOZ.

z

o y

x

7). B = C = 0 Ax + D = 0, плоскость параллельна координатной плоскости YOZ.

z

o

y

x

8). A =B = D = 0 Cz = 0 или z = 0, координатная плоскость XOY.

z

o y

x

9). B =C = D = 0 Ax = 0 или x = 0, координатная плоскость YOZ.

z

o z

x y

10). А = С = D = 0 By = 0 или y = 0, координатная плоскость XOZ. o y

x

Пример. Найти уравнение плоскости, проходящей через ось OX и точку М(1,2,3).

Решение. Уравнение плоскости имеет вид By + Cz = 0; найдём В и С. Подставим координаты точки в это уравнение 2В + 3С = 0 В = С подставляем в уравнение, сокращаем на С, окончательно

Рассмотрим общее уравнение плоскости Ax + By + Cz + D = 0. Перенесём D вправо и разделим на D:, обозначим

= b, уравнение примет вид: уравнение плоскости в

отрезках, где a, b, c отрезки, которые плоскость отсекает от осей координат.

Пример. Построить плоскость 2 x + 5 y – 10 = 0. Приведём это уравнение к уравнению в отрезках На оси ox отложим отрезок x = 5, на оси oy отложим отрезок y = 2. z

o 2 y

x 5

Дата добавления: 2014-01-15