Основные задачи на прямую и плоскость в пространстве

Взаимное расположение прямой и плоскости

Взаимное расположение 2-х прямых

Полярная система координат

Лекция 12. Взаимное расположение прямой и плоскости в

Уравнение прямой, проходящей через две точки

Прямой.

Уравнения прямой. Канонические уравнения

Пусть прямая L задана точкой (и направляющим вектором.

M₁ s;, поэтому

, где t – скалярный параметр

o y,, из рисунка видим

x → векторное уравнение

;; t, в координатах векторное уравнение запишется так:

→ параметрические уравнения прямой.

Вектор = { x - в координатах → канонические уравнения прямой

Пример. Привести уравнение прямой к каноническому виду

Решение

;, =

. M₁ = = 3. Чтобы найти точку на прямой, в общем уравнении положим z=0,, решив эту систему, получим и запишем каноническое уравнение. Ответ..

;

М₂;; ║ в координатах

y → уравнение

x прямой,проходящей через 2-е точки

Пример1. Найти уравнение прямой, проходящей через точку, параллельно прямой.

Решение. Уравнение прямой будем искать в каноническом виде:

. Направляющий вектор можно принять, как векторное произве-

дение нормальных векторов плоскостей, задающих прямую, то есть = 23 + 13 - 17 Подставим в уравнение. Ответ.

Пример 2. Найти уравнение прямой, проходящей через точку, перпендикулярно прямым L₁: и L₂:

L₁ L₂

Решение. Запишем канонические уравнения прямой. Направляющий вектор прямой одновременно перпендикулярен и направляющему вектору и, поэтому = =- 2. Ответ.

1). Прямые заданы каноническими уравнениями: =; =.

2). Условие параллельности

3).Условие перпендикулярности

1). Угол между прямой и плоскостью.

Прямая задана уравнением L:, а плоскость: Ax+By+Cz+D=0

L

2). Условие параллельности.

3). Условие перпендикулярности.

4). Точка пересечения прямой и плоскости.

Пример. Найти точку пересечения прямой = и плоскости

X+2y+3z-29 = 0.

Решение. Уравнение прямой запишем в параметрическом виде.

Эти значения неизвестных подставим в уравнение плоскости: 2t + 2t+ 2+6t-3- -29=0 10t – 30 =0 t = 3. Значение параметра t=3 подставим в параметрические уравнения прямой, получим x = 6, y = 4, z = 5.

Ответ. X=6, y=4, z=5.

5). Условия принадлежности прямой плоскости

Ax+By+Cz+D=0.

. M₁

Точка принадлежит плоскости,а вектор перпендикулярен вектору, поэтому

6). Условия принадлежности 2-х прямых одной плоскости. Воспользуемся условием принадлежности трёх векторов одной плоскости.

. M₁.

.M ₂

1). Уравнение прямой, проходящей через данную точку и перпендикулярно данной плоскости Ax + By +Cz + D = 0.

Ответ.

2). Уравнение плоскости, проходящей через данную точку и параллельно заданной плоскости x + y + z + = 0.

Ответ.

3). Уравнение плоскости, проходящей через заданную точку и перпендикулярно прямой

Ответ. m.

4). Уравнение плоскости, проходящей через данную прямую и через заданную, не лежащую на прямой точку

Ответ. А.

А, В, С находим из условий:

Дата добавления: 2014-01-15