Векторное уравнение прямой . Параметрические

Расстояние от точки до плоскости

И точки.

Точки,не лежащие на одной прямой

Уравнение плоскости, проходящей через 3 различные

Лекция 11. Угол между плоскостями. Условия параллельности и перпендикулярности плоскостей.

Плоскости заданы общими уравнениями. и

=

1). Если, то (или в координатах

→условие перпендикулярности плоскостей.

2). Если, то в координатах →условие параллельности плоскостей.

Пример 1. Составить уравнение плоскости, проходящей через точку параллельно плоскости 3x + 2y – 7z +8 = 0.

Решение. 3(x+2y) + 2(y-1) – 7(z-4) = 0. Ответ. 3x + 2y - 7z +14 = 0

Пример 2. Через точку провести плоскость, перпендикулярную плоскостям

Решение. Уравнение плоскости находим по формуле уравнения плоскости, проходящей через точку, то есть А(x + 2) + B(y – 3) + C (z – 6)=0. Из рисунка вид-

но, что нормальный вектор иско-

мой плоскости перпендикулярен

нормальным векторам данных

плоскостей. ⊥, поэтому

= = = 13.

{ 13, -8, 1 }. Ответ.

;;;

. М. М(x,y,z). Соединим эти точки векторами, усло-

. вие принадлежности 3-х векторов одной плоскос-

. ти- равенство нулю их смешанного произ-

ведения (, или в коор-

динатах

= 0 →уравнение плоскости, проходящей через

Пример. Получить уравнение плоскости, проходящей через три известные точки:

Решение. Найдём координаты векторов;;. Уравнение плоскости запишем в виде:

= 0, раскрываем определитель по элементам 1-й строки,

получаем (x-1)5 – (y+1)(-5) + z 5 =0 или 5x+5y +5z =0. Ответ. x+y+z =0.

Уравнение плоскости в нормальном виде

z,

. M₀. M (

,.

o y +

,

x,,y, z}

(,, но (= =пр_N = p, подставим в скалярное произведение и перейдём к координатам →нормальное уравнение плоскости, где величина р равна ортогональной проекции радиуса вектора фиксированной точки плоскости на единичный вектор нормали.

Задача. Найти расстояние от точки до плоскости Q: Ax+By+Cz+D=0.

. (x₁ ,y₁,z₁)

d

Q

Решение. Воспользуемся формулой, которую применим без доказательства:

→формула расстояния от точки до плоскости.

Пример. Найти расстояние от точки до плоскости 3x+4y+5z+3=0.

Решение. d = =. Ответ. d =

Прямая в пространстве

Линию в пространстве рассматривают, как множество всех точек, принадлежащих двум пересекающимся поверхностям и

Например: при пересечении сферы и плоскости получаем

окружность. Прямую линию получим при пересечении двух плоскостей.

Общее уравнение прямой в

Это уравнение, заданное пересечением двух плоскостей:

→ общее уравнение прямой.

Пример. Построить прямую

Решение. Чтобы построить прямую, надо задать две точки, для этого найдём точки пересечения прямой с координатными плоскостями.

1). Z =0, решаем эту систему, находим точку пересечения.

2). X = 0,

Определение. Точка пересечения прямой с координатной плоскостью называется следом прямой.

Z. М₂

o. М₁ y

x

Дата добавления: 2014-01-15