Виды случайных событий

Основные понятия теории вероятностей

Теорема 1.

Пример 2.

Нормальное уравнение плоскости.

Пример 1.

Написать уравнение плоскости, проходящее через т. А (1, 2,-3), В (2, 3, 1) и

По формуле (3): -5(x-1)+13(y-2)-2(z+3)=0

Раскроем скобки в уравнении: -5x+13y-2z-27=0 - общее уравнение плоскости.

Замечание:

Предположим, что заданы 3 точки, лежащие на плоскости:

и пусть Д (x, y, z) – произв. точка плоскости. Тогда компланарны => =>

= 0 (5) - уравнение плоскости по 3-м точкам.

Пусть - вектор нормали к плоскости Р, направл. от начала координат к плоскости и имеющий ед. длину.

И пусть р - расстояние от нач. координат до плоскости.

Путь В (x, y, z) - текущая точка плоскости, тогда

(6) - нормальное уравнение плоскости

Здесь - направл. cos вектора нормали, а p - расстояние от начала координат плоскости.

Пусть M (a, b, c) – произв. точка пространства. Проведем через т. M плоскость плоскости Р. Если d - расстояние между плоскостями, то уравнение плоскости будет:

Представим в получ. уравнении координаты т.М:

- верное равенство

(7) - расстояние от т.М до плоскости Р.

Если т.М. расположена по ту же сторону, что и начало координат, то формула будет отличаться знаками:

(8) -

- формула расстояния от произв. т.М простр. до плоскости, зад. нормальным уравнением (6).

Замечание:

Для того, чтобы из общего уравнения (4) получить нормальное уравнение (6) нужно поделить уравнение (4) на почленно, причем знак перед корнем выбир. противоположно знаку d.

А (1, 1, 2), В (-1, 2, 3), С (1, 2, 2)

Написать общее и нормальное уравнение плоскости, проход. через т. А, В, С и найти S (Д, пл.)

Д (2, 1, 1)

По формуле (5):

- общее уравнение плоскости

- нормальное уравнение плоскости

По формуле (8):

Расстояние равно высоте пирамиды АВСД, проведенной из вершины Д (см. пример 1 §9).

Пусть две плоскости Р₁ и Р₂ заданы общ. уравнениями:

Тогда между плоскостями находится по формуле:

В частности пл., если, если

□

Угол между плоскостями равен углу между их вект. нормали, ч.т.д. □

Замечание:

Предположим, что плоскость задана общим уравнением: Аx+Вy+Сz+Д=0

Предположим, что A≠0, B≠0, C≠0, Д≠0.

Аx+Вy+Сz=-Д

;; - уравнение пл. в отрезках

а, b, c равны отрезкам, которые отсекает плоскость на осях координат.

Испытание – действие, результат которого заранее не известен.

Элементарный исход – возможный результат испытания.

Событие – один или несколько исходов.

Событие называется случайным, если при осуществлении определенной совокупности условий S оно может либо произойти, либо не произойти. Далее вместо того, чтобы говорить «совокупность условий S осуществлена», будем говорить: «произведено испытание».

Пример 1. В корзине имеются цветные шары. Из корзины наудачу вынимают один шар. Извлечение шара – это испытание. Появление шара определенного цвета – событие.

События называются несовместными, если появление одного из них исключает появление других событий в одном и том же испытании.

Пример 2. При бросании монеты появление «герба» исключает появление «решки». Бросание монеты – это испытание, а события «появился герб» и «появилась решка» – несовместные.

Несколько событий образуют полную группу, если в результате испытания появится хотя бы одно из них (появление хотя бы одного из событий полной группы есть достоверное событие).

Если события, образующие полную группу несовместные, то в результате испытания появится только одно из них.

Пример 3. Вы приобрели лотерейный билет. Тогда обязательно произойдёт только одно из событий: «выигрыш выпал на этот билет» или «выигрыш не выпал на билет». Эти несовместные события образуют полную группу.

События называются равновозможными, если ни одно из них не является более возможным, чем другое.

Пример 4. Появление «герба» и появление «решки» при бросании монеты – равновозможные события (предполагается, что монета изготовлена из однородного материала, имеет правильную цилиндрическую форму и наличие чеканки не оказывает влияния на выпадение той или иной стороны монеты.)

Классическое определение вероятности

Вероятность - число, характеризующее степень возможности появления события.

Пример 5. В корзине имеются 6 яблок, причём 2 из них – красные, 3 – зеленые и 1 – жёлтое. Дадим количественную оценку возможности того, что взятое наудачу яблоко будет красным. Это событие обозначим А.

Испытание состоит в извлечении яблока из корзины. Каждый из возможных результатов испытания называется элементарным исходом (элементарным событием). Элементарные исходы обозначим: ω₁, ω₂ – появится красное яблоко, ω₃, ω₄, ω₅ – появится зелёное яблоко, ω₆ – жёлтое. Все эти исходы образуют полную группу попарно несовместных равновозможных событий. Те элементарные исходы, в которых наступает интересующее нас событие, называют благоприятствующими этому событию. У нас благоприятствующими событию А будут исходы: ω₁, ω₂.

Вероятностью события А называют отношение числа благоприятствующих этому событию исходов к общему числу всех равновозможных несовместных элементарных исходов, образующих полную группу.

, где m(A) – число благоприятствующих событию А исходов, n – число всех возможных элементарных исходов.

В нашем примере: Р(А) = 2/6 = 1/3.

Свойства вероятности:

1.Вероятность достоверного события равна единице.

2.Вероятность невозможного события равна 0.

3.Вероятность случайного события: 0 < P(A) < 1.

Вероятность любого события удовлетворяет двойному неравенству: 0≤ P(A) ≤ 1.

Дата добавления: 2014-01-15