Властивості математичного сподівання

1°. Математичне сподівання сталої величини дорівнює самій сталій величині:

.

Доведення. Будемо розглядати сталу як дискретну випадкову величину, яка має одне можливе значення і приймає його з ймовірністю . Отже,

.

2°. Математичне сподівання алгебраїчної суми скінченого числа випадкових величин дорівнює алгебраїчній сумі їх математичних сподівань

.

Доведення. Доведення проведемо для суми.

Нехай випадкові величини і задані наступними законами розподілу

Запишемо усі можливі значення . Для цього до кожного можливого значення добавимо кожне можливе значення , отримаємо , , , . Припустимо, що ці можливі значення різні і позначимо їх ймовірності відповідно через , , , .

Математичне сподівання величини дорівнює сумі добутків можливих значень на їх ймовірності:

або

(*)

Доведемо, що . Подія, яка складається з того, що прийме значення (ймовірність цієї події дорівнює ) тягне за собою подію, яка складається з того, що приймає значення або (ймовірність цієї події по теоремі додавання дорівнює ) і навпаки. Звідси і слідує, що . Аналогічно доводяться рівності

, і .

Підставляючи праві частини цих рівностей в співвідношення (*), отримаємо

або остаточно .

Аналогічно можна довести формулу для математичного сподівання різниці.

Наслідок. Математичне сподівання суми декількох випадкових величин дорівнює сумі математичних сподівань доданків

.

3°. Математичне сподівання добутку двох незалежних випадкових величин і дорівнює добутку їх математичних сподівань

.

Доведення. Нехай незалежні випадкові величини і задані своїми законами розподілу ймовірностей:

Упорядкуємо всі значення, які може приймати випадкова величина . Для цього перемножимо всі можливі значення на кожне можливе значення , отже отримаємо: , , і . Запишемо закон розподілу добутку

Математичне сподівання дорівнює сумі добутків усіх можливих значень на їх ймовірності

,

або

.

Отже, .

Наслідок. Математичне сподівання добутку декількох взаємно незалежних випадкових величин дорівнює добутку їх математичних сподівань

.

Наслідок. Сталий множник можна виносити за знак математичного сподівання

.

Доведення. .

4°. Математичне сподівання відхилення випадкової величини від її математичного сподівання дорівнює нулю

.

5°. Математичне сподівання числа появи події в незалежних іспитах дорівнює добутку числа іспитів на ймовірність появи події в кожному іспиті

.

6°. Математичне сподівання відносної частоти появи події в незалежних дослідах дорівнює ймовірності події

.

Приклад 1. Стрілець стріляє по мішені. Число вибитих очок при одному пострілі є величина випадкова, яка характеризується наступним законом розподілу

Обчислити математичне сподівання числа вибитих очок.

Розв’язання. За формулою математичного сподівання маємо:

очок.

Приклад 2. При складанні приладу для точної підгонки можуть бути потрібні , , , , спроб. Число спроб є випадкова величина , яка має наступний закон розподілу:

Скільки деталей повинен мати складальник, щоб скласти приладів?

Розв’язання. Обчислимо математичне сподівання числа спроб для складання одного приладу

деталі.

Для приладів: (деталей).

Дата добавления: 2014-01-11