Властивості дисперсії

Властивість 1. Дисперсія сталої величини дорівнює нулю

.

Доведення. За означенням дисперсії

Використовуючи властивість математичного сподівання (математичне сподівання сталої дорівнює самій сталій), отримаємо:

.

Отже, .

Властивість стане ясною, якщо врахувати, що стала величина зберігає одне й те ж значення і розсіяння немає.

Властивість 2. Сталий множник можна виносити за знак дисперсії, підводячи його до квадрату

.

Доведення. За означенням дисперсії

.

Користуючись властивістю математичного сподівання (сталий множник можна виносити за знак математичного сподівання), отримаємо

.

Властивість стане ясною, якщо прийняти до уваги, що при величина має можливі значення (по абсолютній величині), більші ніж величина . Звідси маємо, що ці значення розсіяні біля математичного сподівання більше, ніж можливі значення біля , тобто . Навпаки, якщо , то .

Властивість 3. Дисперсія суми двох незалежних випадкових величин дорівнює сумі їх дисперсій

.

Доведення. За формулою для обчислення дисперсії маємо

.

Розкривши дужки і користуючись властивостями математичного сподівання суми декількох величин і добутку двох незалежних випадкових величин, отримаємо

.

Отже, .

Наслідок 1. Дисперсія суми декількох взаємно незалежних випадкових величин дорівнює сумі дисперсій цих величин

.

Наслідок 2. Дисперсія суми сталої величини і випадкової дорівнює дисперсії випадкової величини:

.

Властивість 4. Дисперсія різниці двох незалежних випадкових величин дорівнює сумі їх дисперсій:

.

Доведення. За третьою властивістю

За другою властивістю

або .

Властивість 5. Дисперсія числа появи події в незалежних дослідах, в кожнім з яких ймовірність появи події стала, дорівнює добутку числа дослідів на ймовірність появи і не появи події в одному іспиті:

.

(Доведення провести самостійно).

Для практичного користування дуже важливим є твердження: математичне сподівання середнього арифметичного

Однаково розподілених незалежних випадкових величин , ,…, дорівнює математичному сподіванню кожної з них, а дисперсія випадкової величини в разів менша дисперсії кожної з них, тобто

,

де , .

, де , .

Таким чином, наприклад, середнє арифметичне ряду вимірів дає більш достовірний (вірогідний) результат, ніж окремий вимір. Із зростанням числа вимірів достовірність (вірогідність) середнього арифметичного числа вимірів зростає.

Дата добавления: 2014-01-11