Мотивационное управление

Содержательная интерпретация мотивационного управления – это задача стимулирования. Несмотря на то, что под мотивацией в общем случае понимается и материальная, и моральная сторона, поощрения, побуждения к совершению требуемых действий, но, к сожалению, формальных моделей того, как человек реагирует на моральное вознаграждение, на сегодняшний день нет. Зато есть модель материального стимулирования. Можно строить аналогично и модели морального стимулирования. Но если при построении модели материального стимулирования мы вводим вполне реальные предположения (например, предприятие стремится максимизировать прибыль), то при построении моделей морального стимулирования мы должны говорить, предположим, что на такие-то стимулы человек будет реагировать так-то, а на такие-то – так-то. Это предположение обосновать уже сложно. Модели морального стимулирования более уязвимы для критики, а психология сегодня не дает нам должной основы. Поэтому будем описывать материальное стимулирование.

Рассмотрим систему, состоящую из одного центра (начальника) и одного подчиненного (агента), то есть приведенную на рисунке 4 (или рисунке 5в).

Есть центр, есть агент. Агент выбирает действие . Содержательная интерпретация действия агента: отрабатываемые часы, объем выпускаемой продукции. Начальник выбирает управление, т.е. зависимость вознаграждения агента от его действия. Эта зависимость называется функцией стимулирования.

Любую модель организационной системы будем описывать по тем пяти компонентам, которые перечислены выше при классификации задач управления (состав, структура, целевая функция, допустимые множества, информированность). Состав: центр, агент. Структура: начальник – подчиненный. Агент выбирает действие, центр выбирает стимулирование. Допустимые множества: множество допустимых действий – положительная полуось: часы, штуки, килограммы и т.п. Функцию стимулирования s (y) будем считать неотрицательной и, когда потребуется, дифференцируемой.

Целевая функция центра зависит от системы стимулирования агента и представляет собой разность между функцией дохода (от деятельности подчиненного начальник получает доход (например, продает на рынке то, что произвел подчиненный)) и то стимулирование, которое выплачивается подчиненному:

,

где – функция дохода центра.

Целевая функция агента: то стимулирование, которое он получает, минус затраты, т.к. в зависимости от выбираемого действия подчиненный несет затраты:

,

где – функция затрат агента

Предположим, что функция дохода неотрицательна при любом действии и принимает максимальное значение при : " y ³ 0 , .

Относительно функции затрат предположим, что она неотрицательна, неубывающая и в нуле равна нулю: " y ³ 0 .

Последние два предположения не очень существенны с формальной точки зрения, но ноль – хорошая точка отсчета. Содержательная интерпретация: выбор агентом действия, равного нулю, т.е. отказ от работы, соответствует нулевому объему работы. Логично взять равной нулю и точку отсчета затрат.

Сформулируем задачу управления: агент будет выбирать действия из множества тех действий, которые обеспечивают максимум его целевой функции: . Это – игра в чистом виде (точнее – с побочными платежами). Реакция агента на управление – это множество тех действий, на котором достигается максимум целевой функции как разности между вознаграждением и затратами. Центр может предсказать поведение агента, значит задача заключается в том, что целевая функция центра зависит от действий и вознаграждения агента, он берет минимум из всех действий агента по множеству всех действий, на которых максимальна целевая функция агента (это соответствует принципу максимального гарантированного результата), и дальше центр хочет максимизировать эту величину выбором функции стимулирования, т.е. выбором зависимости вознаграждения от действий агента: . С формальной точки зрения даже при конкретном виде целевой функции задача получается сложная. Но мы можем воспользоваться теоремой Гермейера о том, что управление в данном случае имеет два режима: наказание и поощрение, а можем получить решение и более простым способом: сначала угадать его, а потом доказать его оптимальность. Что мы и сделаем.

Нашей задачей является нахождение функции стимулирования, которая максимизировала бы гарантированное значение целевой функции центра на множестве действий агента, которое представляет собой множество максимумов его целевой функции при заданной системе стимулирования. В данной задаче, которая является частным случаем игры , теорему Гермейера можно сформулировать в простых, интерпретируемых терминах.

Утверждение 1. Предположим, что использовалась некоторая система стимулирования s (×), такая, что при ее реализации агент выбирал какое-то действие . Утверждается, что, если мы возьмем другую систему стимулирования , которая будет равна нулю всюду, кроме точки , и будет равна старой системе стимулирования в точке , то и при новой системе стимулирования это же действие агента будет доставлять максимум его целевой функции.

Т.е., если центр использует некоторую систему стимулирования, и агент выбирает действие , то центр говорит: "я меняю систему стимулирования и буду платить по-другому, т.е. вознаграждения не будет нигде, кроме точки , а за эту точку я буду платить по-старому" (см. рисунок 6), то утверждается, что агент по-прежнему будет выбирать то же действие, что и ранее: , где

Рис. 6. Иллюстрация утверждения 1

Приведем формальное доказательство утверждения 1. Условие того, что выбор действия доставляет максимум целевой функции агента при использовании системы стимулирования s (×), можно записать в следующем виде: разность между стимулированием и затратами будет не меньше, чем при выборе любого другого действия: .

Давайте заменим систему стимулирования s (×) на систему стимулирования , тогда получим следующее: в точке система стимулирования по-прежнему равна системе стимулирования s (×). В правой части будет тогда записана система стимулирования : .

Если выполнялась первая система неравенств, то выполняется и новая система неравенств, т.к. мы в ней ослабили правую часть – здесь стояло какое-то положительное число, и если эта разность составляет положительное число (доход минус затраты), то тем более она будет больше, чем ноль минус затраты. Следовательно, . Таким образом, утверждение 1 доказано. ·

Итак, пусть центр использует некую систему стимулирования со сложной зависимостью вознаграждения агента от его действий. Утверждение 1 говорит, что центру достаточно ограничиться классом систем стимулирования, в которых стимулирование отлично от нуля в одной точке. Т.е. центр может использовать систему стимулирования, которая называется компенсаторной и имеет следующий вид:

.

Т.е. для любой сложной системы стимулирования найдется компенсаторная система стимулирования, которая приведет к тому же выбору агента, т.е. ничего не изменится ни для центра, ни для агента. Но изменится с точки зрения сложности задачи стимулирования, и понимания агентом того, как и за что его стимулируют. Представьте, одно делу вы говорите, что система стимулирования представляет собой «логарифм тангенса в квадрате», нормальный человек этого не поймет. Гораздо проще будет, если вы скажете человеку: «Тебе нужно сделать такое действие, за него ты получишь вот столько, если ты его не сделаешь, то ничего не получишь». Просто и понятно с точки зрения практики, а что это значит с точки зрения математики? Мы свели задачу поиска функции, принадлежащей множеству всех положительнозначных функций, к задаче поиска двух чисел: действия x и вознаграждения l, которое надо платить за выбор именно этого действия. Два числа найти проще, чем функцию!

Теперь давайте попробуем понять, каким должно быть число l, т.е. попытаемся еще упростить задачу и свести все к одному числу x. Для этого будем рассуждать следующим образом.

Предположим, есть функция затрат агента (см. рисунок 7), ранее мы предположили, что эта функция неотрицательна, в нуле равна нулю и не убывает. Неубывание означает, что чем больше агент работает, тем больше у него затраты. Предположим, что есть функция дохода центра H (y), которая достигаем максимума при ненулевых действиях агентов. Это существенное условие, т.к. если максимум доходов центра достигается при нулевых действиях агента, то нет и задачи стимулирования: зачем стимулировать агента, если максимум выигрыша центра достигается, когда подчиненный ничего не делает.

Теперь давайте рассмотрим рисунок 7 с точки зрения центра и агента. Ноль характеризуется тем, что если агент ничего не делает, то его затраты равны нулю, и если центр ему за это ничего не платит, то агент получает нулевую полезность. Таким образом, оценка снизу выигрыша агента – ноль: ничего не делает, ничего не получает. Значит, агент согласится что-то делать, если вознаграждение, которое будет платить ему центр, будет не меньше, чем его затраты. Таким образом, у нас есть ограничение: вознаграждение должно быть не меньше затрат агента. Значит, агента устраивает все, что лежит выше функции затрат c (y).

С точки зрения центра: центр может получить какую-то полезность в случае нулевого действия агента, т.е. если он ничего ему не платит. И он точно не заплатит агенту больше, чем доход, который он получает от деятельности агента. Т.е. с точки зрения центра, мы «живем» под функцией дохода центра H (y) (см. рисунок 7).

Рис. 7. Область компромисса в задаче стимулирования

Пересечение этих двух областей дает нам некоторую область. Формально, множество – множество таких действий агента, что доход центра от деятельности агента не превосходит затраты последнего. Совокупность множества действий S и вознаграждений за эти действия, устраивающих одновременно и центра и агента (то есть размер вознаграждения должен быть не меньше затрат агента и не больше дохода центра) называется областью компромисса. Она заштрихована на рисунке 7.

Таким образом, мы определили, что речь идет не обо всем множестве действий и вознаграждений, а только об области S, т.к. выше нее не согласится центр, а ниже – агент. Спрашивается, а какую точку в этой области стоит выбирать.

Рассмотрим целевую функцию центра. Стимулирование агента входит в нее со знаком минус – вознаграждение агента центр старается минимизировать, т.е., желательно чтобы подчиненный работал за минимально возможную оплату. С точки зрения центра необходимо двигаться вниз по области компромисса.

С точки зрения агента – наоборот. При фиксированных затратах он хотел бы получить вознаграждение побольше.

Но, несмотря на желание агента, у нас есть иерархия, и решения первым принимает центр. Поэтому центр должен рассуждать так: сколько, как минимум, надо заплатить агенту за некое действие, чтобы он согласился его выполнить. Понятно, что центр должен «работать» на кривой затрат агента, т.е. должен сказать агенту: «Ты выбираешь такое-то действие, я тебе за него компенсирую затраты. А за любое другое действие я тебе ничего не заплачу».

Компенсаторная система стимулирования принимает следующий вид: l должна быть равна затратам агента плюс еще что-то, т.е. не меньше, чем затраты агента. С точки зрения центра эту величину надо сделать минимальной, то есть s (x) = c (x) + d, следовательно:

.

Нарисуем целевую функцию агента (см. рисунок 8). У него затраты со знаком минус. К ним добавляется такая система стимулирования: в точке центр платит ему . Во всех остальных точках стимулирование равно нулю.

Рис. 8. Целевая функция агента

Вычитая из положительного стимулирования затраты, получаем, что целевая функция агента имеет следующий вид – жирная линия на рисунке 8. Она всюду равна отрицательным затратам, кроме точки. В точке она равна величине .

Определим значение ³ 0. Оно должно быть минимальным с точки зрения центра. А дальше – ее значение зависит от того, как мы ставим задачу.

Если предполагается, что агент благожелательно относится к центру и готов среди двух точек, имеющих одинаковую для него предпочтительность, выбрать точку, наилучшую для центра, то достаточно положить d, равной 0. Тогда, если d = 0, то точка максимума лежит на горизонтальной оси (см. рисунок 8), максимум полезности агента (разности между стимулированием и затратами), равный нулю, будет достигаться в двух точках: 0 (ничего не делать) и точно такую же нулевую полезность агент получит в точке плана – действии, которого хочет от него добиться центр. Во всех остальных случаях его полезность отрицательна. Множество максимумов целевой функции агента состоит из двух точек, и, если агент благожелательно настроен к центру, то он выберет .

Если же центр не вправе рассчитывать на благожелательность агента, а хочет гарантировать, чтобы агент выбрал какое-то действие, отличное от нуля, то ему достаточно положить d, равной любому сколь угодно малому, строго положительному числу, чтобы значение целевой функции агента в точке было строго больше нуля. Другими словами, d характеризует различие между принципами пессимизма и оптимизма. Различие это невелико, так как d может быть выбрано сколь угодно малой.

Таким образом, мы сначала перешли от системы стимулирования общего вида к системе стимулирования, зависящей от двух скалярных параметров: точки плана – то, чего хочет центр добиться от агента, и вознаграждения агента l. Потом нашли значение l, равное затратам агента плюс d. В этот параметр d для любой задачи можно «зашить» любую моральную составляющую, т.е. его можно интерпретировать, как мотивационную надбавку. С формальной точки зрения агент выбирает точку максимума своей целевой функции, но если d = 0, его полезность равна 0 независимо от того, не работает ли он вообще или выполняет план, т.е. понятно, что в этом с точки зрения практики есть что-то подозрительное, т.к. не работает – получает 0 и работает – получает 0. Тогда d – мотивационная надбавка – показывает, сколько мы обещаем человеку за то, что он работает, и работает именно в нашей организации. Таким образом, все побуждающие мотивационные аспекты могут быть заложены в d. Какова она должна быть – эта величина d, это не наше, математиков и экономистов, дело. Этими аспектами занимаются менеджмент и психология.

Теперь осталось сделать последний шаг: найти оптимальное значение параметра – плана.

Посмотрим на целевую функцию центра. Она представляет собой (при использовании компенсаторной системы стимулирования с l = c (x) + d) разность между доходом центра и стимулированием агента, причем последнее в случае выполнения агентом плана равно его затратам, т.е.: (если учесть d = Const, то далее ее использовать бессмысленно, т.к. на точку максимума она не влияет). Следовательно, нужно выбрать x^*, который будет доставлять максимум по x разности .

Таким образом, была сложная система стимулирования – ее упростили до системы с двумя параметрами. Первый параметр – l – рассчитали. Он оказался равным затратам агента. Осталось найти второй параметр. Он должен быть такой, чтобы максимизировать разность между доходом центра и системой стимулирования, равной в точности затратам агента. В результате оптимальным решением задачи стимулирования будет компенсаторная система стимулирования такого вида, в которой размер вознаграждения равен затратам агента, а оптимальный план равен плану, максимизирующему разность между доходом центра и затратами агента. Окончательно оптимальное решение будет выглядеть следующим образом:

.

Рассмотрим выражение для оптимального плана x^*. Это выражение означает, что разность между доходом центра и затратами агента – «толщина» области компромисса (см. рисунок 7) – максимальна. При дифференцировании в точке угол наклона касательной к функции дохода центра будет равен углу наклона касательной к функции затрат агента. В экономике это интерпретируется, как точка оптимума, в которой предельная производительность равна предельным затратам.

Значит, точка является оптимальной с точки зрения центра и реализуется исход, определяемый точкой B на рисунке 7. Возможна другая ситуация. Рассмотрим модель, в которой первое предложение делает агент. Он предлагает: я буду делать столько-то, а вы мне будете платить столько-то. Если центр это устраивает, он соглашается.

Вопрос: что должен предложить агент? Агент должен предложить центру то же самое действие x^*, а плату запросить максимальную, на которую еще согласится центр (см. точку А на рисунке 7). В этой ситуации всю прибыль [ H (x^*) – c (x^*)] будет забирать агент.

Другими словами, в данной игре выигрывает тот, кто делает ход первым. Если начальник, то он "сажает" на ноль подчиненного, если подчиненный, то он "сажает" на ноль начальника. В рамках формальной модели и тот, и другой на это согласится.

Рассмотрим следующую ситуацию. Пусть есть целевые функции центра и агента, то есть имеется функция дохода центра и другой параметр – затраты агента. Переменная – функция стимулирования – является внутренней характеристикой системы, отражающей взаимодействие между центром и агентом: сколько центр отдал, столько агент и получил. Если мы сложим целевые функции центра и агента, то сократятся значения функции стимулирования, и останется разность доходов и затрат. Значит, действие x^*, которое является решением задачи стимулирования, оказывается, максимизирует и сумму целевых функций. Т.е. действие агента, которое реализует центр, оптимально по Парето.

Можно ставить задачи определения точки внутри отрезка АB внутри области компромисса (см. рисунок 7). Мы рассмотрели две крайности:

1. всю прибыль себе забирает центр;

2. всю прибыль забирает агент.

Возможно определение компромисса между ними, т.е. центр и агент могут договориться делить эту прибыль, например, пополам. Агент, кроме компенсации затрат, получает половину этой прибыли. Или другой принцип: фиксированный норматив рентабельности, т.е. пусть стимулирование агента составляет не только затраты, а затраты, умноженные на единицу плюс норматив рентабельности. Аналогично анализируются и другие модификации задачи стимулирования.

Связь данных задач с практикой следующая: содержательная интерпретация понятна: описаны ситуации, в которых можно платить, а можно не платить за действия агента. Как это связано с другими системами стимулирования, которые используются в жизни? Рассмотрим эти системы.

Если есть система стимулирования, то квазисистемой стимулирования называется система стимулирования, полученная из нее обнулением всех, кроме одной точки. На самом деле в рамках гипотезы благожелательности она тоже будет побуждать выбирать это действие (см. утверждение 1). Таким образом, из любой системы стимулирования можно получить квазисистему, обнулив ее всюду, кроме одной точки.

Решение задачи найдено – компенсаторная система стимулирования с планом x^*. Единственно ли оно? Рассуждение очень простое: пусть есть функция затрат агента, и есть план . Оптимальная система стимулирования – квазикомпенсаторная – побуждает агента выбирать , и центр несет затраты на стимулирование в точности равные затратам агента.

Возьмем другие системы стимулирования, которые побуждают агента выбирать то же действие, а центр платить столько же. Для того чтобы такая система стимулирования существовала, достаточно, чтобы функция стимулирования проходила через точку (x^*, c (x^*)).

Утверждение 2. Для того чтобы агент по-прежнему выбирал действие y = x^*, достаточно, чтобы функция стимулирования проходила через точку (x^*, c (x^*)), а во всех остальных точках была не больше, чем затраты агента.

Докажите это утверждение самостоятельно.

Если мы возьмем любую систему стимулирования из изображенных на рисунке 9, то она тоже будет побуждать агента выбирать действие x^*, и центр будет платить столько же.

Можно взять скачкообразную систему стимулирования – всюду ноль, а потом константа – так называемая аккордная оплата: выполнил план – получил вознаграждение не меньшее затрат, не выполнил – ничего не получил, выполнил больше – все равно получил столько же. Мы можем выбрать монотонную систему стимулирования, но чтобы она проходила через точку (x^*, c (x^*)), и всюду лежала ниже затрат. Т.е. любая кривая, проходящая через точку (x^*, c (x^*)) и лежащая ниже функции затрат, будет решением задачи стимулирования. Кривых таких – континуум, т.е. имеется бесконечное число решений этой задачи.

Рис. 9. Оптимальные системы стимулирования

Вопрос: какие из этого континуума задач разумны с содержательной точки зрения? Разумна аккордная система оплаты, когда мы платим только при превышении действия над некоторым нормативом плана. Рассмотрим некоторые другие варианты.

Дата добавления: 2014-01-20